Ensembles et applications — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Notion d'ensemble, appartenance et inclusion

1.1 Ensemble et éléments

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On peut décrire un ensemble :

En extension : en listant ses éléments, par exemple $E = {1, 2, 3, 4}$ .
En compréhension : par une propriété caractéristique, par exemple $E = {x \in N ∣ 1 \leq x \leq 4}$ .

Définition

Soit $E$ un ensemble. Dire que $x$ appartient à $E$ , noté $x \in E$ , signifie que $x$ est un élément de $E$ . Sinon, on écrit $x \in / E$ .

L'ensemble vide, noté $\emptyset$ , est l'ensemble ne contenant aucun élément : $\forall x, x \in / \emptyset$ .

1.2 Inclusion

Définition

On dit que $A$ est inclus dans $B$ , et on note $A \subset B$ , lorsque tout élément de $A$ est élément de $B$ :

A \subset B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)

On dit alors que $A$ est une partie (ou un sous-ensemble) de $B$ .

Propriétés de l'inclusion

Pour tous ensembles $A$ , $B$ , $C$ :

Réflexivité : $A \subset A$ .
Transitivité : si $A \subset B$ et $B \subset C$ alors $A \subset C$ .
Antisymétrie : $A = B \Leftrightarrow (A \subset B et B \subset A)$ .
$\emptyset \subset A$ pour tout ensemble $A$ .

Remarque importante : il ne faut pas confondre $\in$ (relation entre un élément et un ensemble) et $\subset$ (relation entre deux ensembles).

2. Ensemble des parties

Définition

L'ensemble des parties d'un ensemble $E$ , noté $P (E)$ , est l'ensemble dont les éléments sont toutes les parties de $E$ :

A \in P (E) \Leftrightarrow A \subset E

En particulier, $\emptyset \in P (E)$ et $E \in P (E)$ .

Propriété (cardinal)

Si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments, alors $P (E)$ possède $2^{n}$ éléments.

Exemple résolu 1

Soit $E = {a, b, c}$ . Déterminons $P (E)$ .

$E$ possède $3$ éléments, donc $P (E)$ possède $2^{3} = 8$ éléments :

$P (E) = {\emptyset, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}$ .

On remarque que ${a} \in P (E)$ alors que $a \in / P (E)$ , et que $a \in E$ alors que ${a} \subset E$ .

3. Opérations sur les ensembles

Dans toute la suite, $A$ , $B$ , $C$ désignent des parties d'un même ensemble de référence $E$ .

3.1 Réunion et intersection

Définition

La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ :

A \cup B = {x ∣ x \in A ou x \in B}

Définition

L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ et à $B$ :

A \cap B = {x ∣ x \in A et x \in B}

Lorsque $A \cap B = \emptyset$ , on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.

3.2 Complémentaire et différence

Définition

Le complémentaire de $A$ dans $E$ , noté $\overline{A}$ (ou $∁_{E} A$ ), est l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ :

\overline{A} = {x \in E ∣ x \in / A}

Définition

La différence $A ∖ B$ est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ :

A ∖ B = {x ∣ x \in A et x \in / B} = A \cap \overline{B}

3.3 Propriétés des opérations

Propriétés

Commutativité : $A \cup B = B \cup A$ ; $A \cap B = B \cap A$ .
Associativité : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ; $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ .
Idempotence : $A \cup A = A$ ; $A \cap A = A$ .
Éléments neutres / absorbants : $A \cup \emptyset = A$ ; $A \cap \emptyset = \emptyset$ ; $A \cup E = E$ ; $A \cap E = A$ .
Complémentaire : $A \cup \overline{A} = E$ ; $A \cap \overline{A} = \emptyset$ ; $\overline{\overline{A}} = A$ .

Distributivité

L'intersection est distributive sur la réunion, et réciproquement :

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

Lois de De Morgan

Le complémentaire échange réunion et intersection :

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

Exemple résolu 2

Soit $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {1, 2, 3, 4}$ et $B = {3, 4, 5}$ . Calculons quelques ensembles.

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ .
$A \cap B = {3, 4}$ .
$\overline{A} = {5, 6}$ et $\overline{B} = {1, 2, 6}$ .
$A ∖ B = {1, 2}$ .

Vérifions la loi de De Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{{1, 2, 3, 4, 5}} = {6}$ , et $\overline{A} \cap \overline{B} = {5, 6} \cap {1, 2, 6} = {6}$ . Les deux résultats coïncident bien.

4. Produit cartésien

Définition

Le produit cartésien de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des couples ordonnés $(x, y)$ où $x \in A$ et $y \in B$ :

A \times B = {(x, y) ∣ x \in A et y \in B}

L'égalité de deux couples est définie par : $(x, y) = (x^{'}, y^{'}) \Leftrightarrow (x = x^{'} et y = y^{'})$ . En général $A \times B \neq = B \times A$ .

Propriété (cardinal)

Si $A$ a $p$ éléments et $B$ a $q$ éléments, alors $A \times B$ a $p \times q$ éléments. On note $A^{2} = A \times A$ .

5. Applications : définition, image et antécédent

Définition

Une application $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ est une correspondance qui associe à chaque élément $x$ de $E$ un unique élément de $F$ , noté $f (x)$ . On écrit :

f : E \to F, x \mapsto f (x)

$E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée.

Définition (image et antécédent)

Pour $x \in E$ , l'élément $f (x)$ est l'image de $x$ par $f$ . Réciproquement, si $y = f (x)$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Chaque $x$ admet une image unique, mais un élément $y$ de $F$ peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

Égalité de deux applications

Deux applications $f$ et $g$ sont égales si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et $f (x) = g (x)$ pour tout $x \in E$ .

6. Image directe et image réciproque d'une partie

Image directe

Soit $f : E \to F$ et $A \subset E$ . L'image directe de $A$ par $f$ est :

f (A) = {f (x) ∣ x \in A} = {y \in F ∣ \exists x \in A, y = f (x)}

Image réciproque

Soit $f : E \to F$ et $B \subset F$ . L'image réciproque de $B$ par $f$ est :

f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B}

Attention : la notation $f^{- 1} (B)$ ne suppose pas que $f$ soit bijective ; il s'agit ici d'un ensemble d'antécédents.

7. Applications injective, surjective, bijective

Injection

$f : E \to F$ est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes :

\forall (x_{1}, x_{2}) \in E^{2}, f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

Autrement dit, tout élément de $F$ admet au plus un antécédent.

Surjection

$f : E \to F$ est surjective si tout élément de $F$ admet au moins un antécédent :

\forall y \in F, \exists x \in E, y = f (x)

De façon équivalente : $f (E) = F$ .

Bijection

$f : E \to F$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de $F$ admet un unique antécédent.

\forall y \in F, \exists! x \in E, y = f (x)

8. Composition d'applications

Définition

Soit $f : E \to F$ et $g : F \to G$ . La composée $g \circ f$ est l'application de $E$ vers $G$ définie par :

(g \circ f) (x) = g (f (x)), \forall x \in E

Propriétés

La composition est associative : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .
Elle n'est en général pas commutative : $g \circ f \neq = f \circ g$ .
Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.
Si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective.
Si $f$ et $g$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective.

9. Application réciproque, restriction et prolongement

9.1 Application réciproque d'une bijection

Définition

Si $f : E \to F$ est bijective, il existe une unique application $f^{- 1} : F \to E$ , appelée application réciproque, telle que :

f^{- 1} (y) = x \Leftrightarrow y = f (x)

Propriétés caractéristiques

Pour une bijection $f : E \to F$ :

f^{- 1} \circ f = Id_{E} f \circ f^{- 1} = Id_{F}

où $Id_{E}$ est l'application identité de $E$ . De plus, $f^{- 1}$ est elle-même bijective et $(f^{- 1})^{- 1} = f$ . Si $f$ et $g$ sont bijectives, $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

9.2 Restriction et prolongement

Restriction

Soit $f : E \to F$ et $A \subset E$ . La restriction de $f$ à $A$ est l'application $f_{∣ A} : A \to F$ définie par $f_{∣ A} (x) = f (x)$ pour tout $x \in A$ .

Prolongement

Réciproquement, si $g : A \to F$ et $A \subset E$ , une application $f : E \to F$ est un prolongement de $g$ à $E$ si $f_{∣ A} = g$ , c'est-à-dire $f (x) = g (x)$ pour tout $x \in A$ .

Remarque : restreindre une application peut la rendre injective (en réduisant le départ) ; restreindre l'arrivée à $f (E)$ la rend surjective. C'est une technique courante pour rendre une application bijective.

🔑 Formules clés à retenir

$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B)$ — définition de l'inclusion
$A = B \Leftrightarrow (A \subset B et B \subset A)$ — double inclusion (méthode d'égalité)
$A \in P (E) \Leftrightarrow A \subset E$ — ensemble des parties
$card P (E) = 2^{n}$ où $n = card E$ — nombre de parties
$A \cup B = {x ∣ x \in A ou x \in B}$ — réunion
$A \cap B = {x ∣ x \in A et x \in B}$ — intersection
$\overline{A} = {x \in E ∣ x \in / A}$ — complémentaire dans $E$
$A ∖ B = A \cap \overline{B}$ — différence
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ — distributivité de $\cap$ sur $\cup$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ — distributivité de $\cup$ sur $\cap$
$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ — première loi de De Morgan
$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ — seconde loi de De Morgan
$\overline{\overline{A}} = A$ ; $A \cup \overline{A} = E$ ; $A \cap \overline{A} = \emptyset$ — complémentaire
$A \times B = {(x, y) ∣ x \in A et y \in B}$ — produit cartésien
$card (A \times B) = card A \times card B$ — cardinal du produit
$f (A) = {f (x) ∣ x \in A}$ — image directe d'une partie
$f^{- 1} (B) = {x \in E ∣ f (x) \in B}$ — image réciproque d'une partie
$f injective \Leftrightarrow (f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2})$ — injectivité
$f surjective \Leftrightarrow \forall y \in F, \exists x \in E, y = f (x)$ — surjectivité ( $f (E) = F$ )
$f bijective \Leftrightarrow \forall y \in F, \exists! x \in E, y = f (x)$ — bijectivité
$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ — composition
$(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ — réciproque d'une composée
$f^{- 1} \circ f = Id_{E}$ et $f \circ f^{- 1} = Id_{F}$ — application réciproque
$(f^{- 1})^{- 1} = f$ — réciproque de la réciproque
$f_{∣ A} (x) = f (x)$ pour $x \in A$ — restriction de $f$ à $A \subset E$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : confondre $\in$ et $\subset$ . On écrit $a \in E$ (un élément appartient) mais ${a} \subset E$ (un ensemble est inclus). Écrire $a \subset E$ ou ${a} \in E$ est faux, sauf cas particuliers comme $P (E)$ .

❌

Erreur : mal appliquer De Morgan en oubliant d'échanger $\cup$ et $\cap$ . On a $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et non $\overline{A} \cup \overline{B}$ . La barre transforme « ou » en « et ».

❌

Erreur : croire que $f^{- 1} (B)$ exige que $f$ soit bijective. L'image réciproque d'une partie $f^{- 1} (B)$ existe toujours ; seule l'application réciproque $f^{- 1} : F \to E$ requiert la bijectivité.

✅

Pour montrer une égalité d'ensembles $A = B$ , prouve la double inclusion : prends $x \in A$ et montre $x \in B$ , puis l'inverse. C'est la méthode la plus sûre au lieu de manipuler des dessins.

✅

Pour prouver l'injectivité, pars de $f (x_{1}) = f (x_{2})$ et déduis $x_{1} = x_{2}$ . Pour la surjectivité, fixe $y \in F$ et résous l'équation $f (x) = y$ en cherchant un antécédent $x \in E$ .

💡

Astuce mémoire pour $P (E)$ : un ensemble à $n$ éléments a $2^{n}$ parties, car chaque élément est soit pris, soit non pris (2 choix indépendants). Pense aussi à toujours inclure $\emptyset$ et $E$ lui-même.

💡

Si une application n'est pas bijective, joue sur la restriction : restreindre l'ensemble de départ peut la rendre injective, et restreindre l'arrivée à $f (E)$ la rend surjective. C'est la clé pour fabriquer une bijection.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Ensembles et applications

Type 1 : Montrer une inclusion ou une égalité d'ensembles

Quand ? On demande $A \subset B$ ou $A = B$ .

Pour $A \subset B$ : prends un élément quelconque $x \in A$ .
Montre, en utilisant la définition de $A$ , que $x$ vérifie la propriété de $B$ , donc $x \in B$ .
Pour une égalité $A = B$ : démontre la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$ .
Conclus.

Exemple éclair : Pour montrer $A = B$ , on prouve $x \in A \Rightarrow x \in B$ puis $x \in B \Rightarrow x \in A$ .

Type 2 : Calculer avec les opérations sur les ensembles

Quand ? On manipule union, intersection, complémentaire, ou on prouve une identité (lois de De Morgan).

Reviens aux définitions : $x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A$ ou $x \in B)$ .
Traduis l'appartenance en termes logiques (et, ou, non).
Applique les règles logiques (distributivité, négation) pour transformer.
Retraduis en langage ensembliste pour conclure.

Exemple éclair : De Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ .

Type 3 : Déterminer l'image directe ou réciproque par une application

Quand ? On cherche $f (A)$ (image directe) ou $f^{- 1} (B)$ (image réciproque).

Image directe : $f (A) = {f (x) ∣ x \in A}$ ; calcule $f (x)$ pour les $x$ de $A$ .
Image réciproque : $f^{- 1} (B) = {x ∣ f (x) \in B}$ ; résous l'inéquation/équation $f (x) \in B$ .
Attention : $f^{- 1} (B)$ existe même si $f$ n'est pas bijective (ce n'est pas la bijection réciproque).
Donne l'ensemble obtenu en extension ou en compréhension.

Exemple éclair : Pour $f (x) = x^{2}$ , $f^{- 1} ({4}) = {- 2; 2}$ .

Type 4 : Étudier l'injectivité d'une application

Quand ? On demande si $f$ est injective.

Pars de $f (x_{1}) = f (x_{2})$ pour $x_{1}, x_{2}$ dans l'ensemble de départ.
Manipule l'égalité pour aboutir à $x_{1} = x_{2}$ .
Si tu y parviens toujours : $f$ est injective.
Pour montrer la non-injectivité : exhibe deux éléments distincts ayant la même image.

Exemple éclair : $f (x) = 2 x + 3$ : $2 x_{1} + 3 = 2 x_{2} + 3 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ , donc injective.

Type 5 : Étudier la surjectivité d'une application

Quand ? On demande si $f : E \to F$ est surjective.

Prends un élément quelconque $y \in F$ (ensemble d'arrivée).
Cherche un antécédent : résous l'équation $f (x) = y$ d'inconnue $x$ .
Si une solution $x \in E$ existe pour tout $y$ : $f$ est surjective.
Pour la non-surjectivité : trouve un $y \in F$ sans antécédent.

Exemple éclair : $f : R \to R, f (x) = x^{2}$ n'est pas surjective car $- 1$ n'a pas d'antécédent.

Type 6 : Montrer qu'une application est bijective

Quand ? On demande de prouver que $f$ est bijective, ou de déterminer sa réciproque.

Montre que $f$ est injective ET surjective.
Méthode directe : pour tout $y$ , montre que $f (x) = y$ admet une unique solution $x$ .
Exprime cette solution : $x = f^{- 1} (y)$ .
Donne explicitement la bijection réciproque $f^{- 1}$ .

Exemple éclair : $f (x) = 2 x + 3$ est bijective de $R$ dans $R$ , de réciproque $f^{- 1} (y) = \frac{y - 3}{2}$ .

Type 7 : Étudier la composée de deux applications

Quand ? On travaille avec $g \circ f$ et ses propriétés.

Calcule $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ en remplaçant.
Rappelle les propriétés : si $f$ et $g$ injectives, $g \circ f$ injective ; idem pour surjective.
Si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective ; si surjective, alors $g$ est surjective.
Conclus sur la nature de la composée.

Exemple éclair : Avec $f (x) = x + 1$ et $g (x) = 2 x$ , $(g \circ f) (x) = 2 (x + 1) = 2 x + 2$ .

Ensembles et applications — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

23 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

3 exercices

Ensemble des parties et opérations ensemblistes

Facile

Énoncé

Écrire en extension $P (E)$ dans chacun des cas : $E = {1}$ ; $E = {1; 4}$ ; $E = {a; b; c}$ .
On considère l'ensemble $E = {- 1; - 2; - 3; 1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}$ et ses parties $A = {1; 2; 3; - 1; - 2; 9; 10}$ et $B = {1; 2; - 1; - 2; 7; 8}$ . Déterminer en extension : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $\overline{A} \cup \overline{B}$ ; $\overline{A} \cap \overline{B}$ ; $A ∖ B$ ; $B ∖ A$ et $A △ B$ .

Ma réponse

Ensembles et applications

Ensembles et applications — Résumé de cours

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1. Notion d'ensemble, appartenance et inclusion

1.1 Ensemble et éléments

Définition

1.2 Inclusion

Définition

Propriétés de l'inclusion

2. Ensemble des parties

Définition

Propriété (cardinal)

Exemple résolu 1

3. Opérations sur les ensembles

3.1 Réunion et intersection

Définition

Définition

3.2 Complémentaire et différence

Définition

Définition

3.3 Propriétés des opérations

Propriétés

Distributivité

Lois de De Morgan

Exemple résolu 2

4. Produit cartésien

Définition

Propriété (cardinal)

5. Applications : définition, image et antécédent

Définition

Définition (image et antécédent)

Égalité de deux applications

6. Image directe et image réciproque d'une partie

Image directe

Image réciproque

7. Applications injective, surjective, bijective

Injection

Surjection

Bijection

8. Composition d'applications

Définition

Propriétés

9. Application réciproque, restriction et prolongement

9.1 Application réciproque d'une bijection

Définition

Propriétés caractéristiques

9.2 Restriction et prolongement

Restriction

Prolongement

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Ensembles et applications

Type 1 : Montrer une inclusion ou une égalité d'ensembles

Type 2 : Calculer avec les opérations sur les ensembles

Type 3 : Déterminer l'image directe ou réciproque par une application

Type 4 : Étudier l'injectivité d'une application

Type 5 : Étudier la surjectivité d'une application

Type 6 : Montrer qu'une application est bijective

Type 7 : Étudier la composée de deux applications

Ensembles et applications — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Ensemble des parties et opérations ensemblistes

Énoncé

Axe de symétrie et minoration d'un trinôme

Composition de fonctions et décomposition

Exercices Intermédiaires

Écrire des ensembles en extension

Énoncé

Égalité d'ensembles : double inclusion

Énoncé

Inclusions, différences et complémentaires

Énoncé

Transitivité d'une condition sur les différences

Énoncé

Produit cartésien et opérations ensemblistes

Énoncé

Image directe et image réciproque d'une parabole