Géométrie analytique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Repère orthonormé et coordonnées

Dans tout ce chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j)$ , c'est-à-dire d'un point origine $O$ et de deux vecteurs $i$ et $j$ vérifiant deux conditions : ils sont de même norme égale à $1$ (normé) et ils sont perpendiculaires (ortho). Ce repère permet d'associer à chaque point et à chaque vecteur du plan un couple de nombres réels appelé coordonnées.

Définition

Soit $M$ un point du plan. Il existe un unique couple $(x; y) \in R^{2}$ tel que $O M = x i + y j$ . Le réel $x$ s'appelle l'abscisse de $M$ et $y$ son ordonnée. On note $M (x; y)$ .

Le repère est dit orthonormé direct lorsque, en plus, l'angle orienté allant de $i$ vers $j$ vaut $+ \frac{π}{2}$ . C'est le repère que l'on utilise par défaut.

2. Coordonnées d'un vecteur et norme

2.1 Coordonnées d'un vecteur

Définition

Un vecteur $u$ du plan se décompose de manière unique sous la forme $u = x i + y j$ . Le couple $(x; y)$ est appelé coordonnées du vecteur $u$ , et on note $u (x y)$ .

Propriété

Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ sont deux points, alors les coordonnées du vecteur $A B$ sont :

A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})

De plus, le milieu $I$ du segment $[A B]$ a pour coordonnées :

I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

2.2 Opérations sur les coordonnées

Soient $u (x y)$ , $v (x^{'} y^{'})$ et $λ \in R$ . Alors :

$u + v$ a pour coordonnées $(x + x^{'} y + y^{'})$ ;
$λ u$ a pour coordonnées $(λ x λ y)$ ;
$u = v$ si et seulement si $x = x^{'}$ et $y = y^{'}$ .

2.3 Norme d'un vecteur

Définition

La norme d'un vecteur $u (x y)$ dans un repère orthonormé est sa longueur, donnée par :

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}

En particulier, la distance entre deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ est :

A B = ∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Méthode : Calculer la distance entre $A (1; - 2)$ et $B (4; 2)$ .

On forme $A B (4 - 1 2 - (- 2)) = (34)$ , donc $A B = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

3. Colinéarité de deux vecteurs : le déterminant

Définition

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $λ$ tel que $v = λ u$ , ou bien lorsque l'un d'eux est nul.

Définition

Le déterminant des vecteurs $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ est le réel :

det (u, v) = x y x^{'} y^{'} = x y^{'} - y x^{'}

Propriété (critère de colinéarité)

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

u et v colin \overset{e}{ˊ} aires ⟺ x y^{'} - y x^{'} = 0

Conséquence : trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $det (A B, A C) = 0$ .

Méthode : Les points $A (1; 2)$ , $B (3; 6)$ et $C (- 1; - 2)$ sont-ils alignés ?

On calcule $A B (24)$ et $A C (- 2 - 4)$ . Le déterminant vaut $det = 2 \times (- 4) - 4 \times (- 2) = - 8 + 8 = 0$ . Le déterminant étant nul, les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.

4. Représentation paramétrique d'une droite

Une droite $(D)$ est entièrement déterminée par un point $A (x_{A}; y_{A})$ qui lui appartient et un vecteur directeur $u (α β)$ non nul qui donne sa direction.

Propriété

Un point $M (x; y)$ appartient à la droite $(D)$ passant par $A$ et dirigée par $u$ si et seulement si $A M$ et $u$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe $t \in R$ tel que $A M = t u$ . On obtient la représentation paramétrique :

{x = x_{A} + t α y = y_{A} + t β, t \in R

Le réel $t$ s'appelle le paramètre : à chaque valeur de $t$ correspond un unique point de la droite.

Méthode : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A (2; - 1)$ et de vecteur directeur $u (35)$ .

On applique directement la formule : ${x = 2 + 3 t y = - 1 + 5 t$ , $t \in R$ . Par exemple, pour $t = 1$ on obtient le point $(5; 4)$ qui appartient à la droite.

5. Équation cartésienne d'une droite

Propriété

Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :

a x + b y + c = 0 avec (a; b) \neq = (0; 0)

Réciproquement, tout ensemble d'équation $a x + b y + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls) est une droite.

5.1 Vecteur directeur et vecteur normal

Propriété

Pour la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ :

un vecteur directeur est $u (- b a)$ (il dirige la droite) ;
un vecteur normal est $n (a b)$ (il est perpendiculaire à la droite).

On vérifie que $u$ et $n$ sont bien orthogonaux : leur produit scalaire vaut $a \times (- b) + b \times a = 0$ .

5.2 Obtenir l'équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

Méthode : Trouver l'équation cartésienne de la droite passant par $A (1; 3)$ et de vecteur directeur $u (2 - 1)$ .

Un point $M (x; y)$ est sur la droite si et seulement si $det (A M, u) = 0$ . Or $A M (x - 1 y - 3)$ , d'où :

$(x - 1) \times (- 1) - (y - 3) \times 2 = 0 ⟹ - x + 1 - 2 y + 6 = 0 ⟹ x + 2 y - 7 = 0.$

L'équation cherchée est $x + 2 y - 7 = 0$ . On retrouve bien un vecteur directeur $(- 2 1)$ , colinéaire à $u$ .

5.3 Coefficient directeur

Définition

Lorsqu'une droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées (c'est-à-dire $b \neq = 0$ ), elle admet une équation réduite de la forme $y = m x + p$ . Le réel $m$ est appelé le coefficient directeur (ou pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine.

À partir de l'équation $a x + b y + c = 0$ avec $b \neq = 0$ , on isole $y$ : $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ , donc $m = - \frac{a}{b}$ . Si la droite passe par deux points $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ avec $x_{A} \neq = x_{B}$ :

m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

6. Parallélisme et orthogonalité de deux droites

Soient deux droites $(D) : a x + b y + c = 0$ et $(D^{'}) : a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0$ , de vecteurs directeurs respectifs $u (- b a)$ et $u^{'} (- b^{'} a^{'})$ .

Propriété (parallélisme)

$(D) ∥ (D^{'})$ si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, soit :

(D) ∥ (D^{'}) ⟺ det (u, u^{'}) = 0 ⟺ a b^{'} - a^{'} b = 0

Propriété (orthogonalité)

$(D) ⊥ (D^{'})$ si et seulement si leurs vecteurs directeurs (ou normaux) sont orthogonaux, soit :

(D) ⊥ (D^{'}) ⟺ u \cdot u^{'} = 0 ⟺ a a^{'} + b b^{'} = 0

En termes de coefficients directeurs $m$ et $m^{'}$ (quand ils existent) : les droites sont parallèles si et seulement si $m = m^{'}$ , et perpendiculaires si et seulement si $m \times m^{'} = - 1$ .

7. Distance d'un point à une droite

Propriété

Dans un repère orthonormé, la distance d'un point $M (x_{0}; y_{0})$ à la droite $(D) : a x + b y + c = 0$ est :

d (M, (D)) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Cette distance correspond à la longueur du segment perpendiculaire abaissé de $M$ sur $(D)$ ; c'est la plus courte distance entre $M$ et la droite.

Méthode : Calculer la distance du point $M (3; - 2)$ à la droite $(D) : 4 x - 3 y + 1 = 0$ .

On a $a = 4$ , $b = - 3$ , $c = 1$ . Alors :

$d (M, (D)) = \frac{∣4 \times 3 + ( - 3 ) \times ( - 2 ) + 1∣}{4 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}} = \frac{∣12 + 6 + 1∣}{16 + 9} = \frac{19}{25} = \frac{19}{5} = 3, 8.$

8. Équation cartésienne d'un cercle

Propriété

Le cercle $(C)$ de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que $Ω M = r$ . Son équation cartésienne est :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

En développant, on obtient une équation de la forme $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + d = 0$ . Réciproquement, pour reconnaître un cercle à partir d'une telle équation, on utilise la forme canonique en regroupant les carrés.

Méthode : Déterminer le centre et le rayon de l'ensemble d'équation $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ .

On regroupe : $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) - 3 = 0$ . Puis on complète les carrés : $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ et $y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4$ . L'équation devient :

$(x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 - 3 = 0 ⟹ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16.$

C'est donc le cercle de centre $Ω (3; - 2)$ et de rayon $r = 16 = 4$ .

Remarque : on peut aussi définir un cercle par son diamètre. Le cercle de diamètre $[A B]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$ .

9. Position relative d'une droite et d'un cercle

Soit un cercle $(C)$ de centre $Ω$ et de rayon $r$ , et une droite $(D)$ . On compare la distance $d = d (Ω, (D))$ au rayon $r$ .

Propriété

Si $d > r$ : la droite ne coupe pas le cercle (aucun point commun). On dit que $(D)$ est extérieure.
Si $d = r$ : la droite est tangente au cercle (un seul point commun, le point de contact).
Si $d < r$ : la droite est sécante au cercle (deux points communs).

Sur le plan algébrique, on peut aussi remplacer l'expression de la droite dans l'équation du cercle ; on obtient une équation du second degré dont le discriminant $Δ$ donne directement : $Δ < 0$ (extérieure), $Δ = 0$ (tangente), $Δ > 0$ (sécante).

Méthode : Étudier la position de la droite $(D) : x + y - 1 = 0$ par rapport au cercle de centre $Ω (1; 1)$ et de rayon $r = 2$ .

On calcule la distance : $d (Ω, (D)) = \frac{∣1 + 1 - 1∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx 0, 71$ . Comme $d < r$ (car $0, 71 < 2$ ), la droite est sécante au cercle : elle le coupe en deux points.

🔑 Formules clés à retenir

$A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ — coordonnées d'un vecteur à partir de deux points
$I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ — milieu du segment $[A B]$
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ — norme d'un vecteur $u (x y)$
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ — distance entre deux points
$det (u, v) = x y^{'} - y x^{'}$ — déterminant de deux vecteurs
$x y^{'} - y x^{'} = 0$ — condition de colinéarité de $u$ et $v$
${x = x_{A} + t α y = y_{A} + tβ$ — représentation paramétrique d'une droite ( $t \in R$ )
$a x + b y + c = 0$ — équation cartésienne d'une droite
$u (- b a)$ — vecteur directeur de $a x + b y + c = 0$
$n (a b)$ — vecteur normal de $a x + b y + c = 0$
$m = - \frac{a}{b} = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ — coefficient directeur (pente)
$a b^{'} - a^{'} b = 0$ — condition de parallélisme de deux droites
$a a^{'} + b b^{'} = 0$ — condition d'orthogonalité de deux droites
$m \times m^{'} = - 1$ — condition de perpendicularité via les pentes
$d (M, (D)) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ — distance d'un point à une droite
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ — équation d'un cercle de centre $Ω (a; b)$ et rayon $r$
$M A \cdot M B = 0$ — cercle de diamètre $[A B]$
$d > r$ extérieure, $d = r$ tangente, $d < r$ sécante — position droite/cercle

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : confondre vecteur directeur et vecteur normal d'une droite $a x + b y + c = 0$ . Le vecteur normal est $(a b)$ (les coefficients), tandis que le vecteur directeur est $(- b a)$ (on échange et on change un signe).

❌

Erreur : oublier la valeur absolue au numérateur de la distance d'un point à une droite. La distance est toujours positive : $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , jamais une valeur négative.

❌

Erreur : appliquer la formule de la norme $x^{2} + y^{2}$ ou de la distance d'un point à une droite dans un repère non orthonormé. Ces formules ne sont valables QUE dans un repère orthonormé.

❌

Erreur : écrire le rayon $r = 16$ au lieu de $r = 4$ pour l'équation $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ . Attention, le second membre vaut $r^{2}$ , donc $r = 16 = 4$ .

✅

Pour tester l'alignement de trois points ou le parallélisme de deux droites, le déterminant est le plus rapide : il suffit de vérifier $x y^{'} - y x^{'} = 0$ . Pas besoin de chercher le coefficient $λ$ .

✅

Pour reconnaître un cercle dans une équation $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ , complétez les carrés. Si le second membre obtenu est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, c'est un point unique ; s'il est positif, c'est bien un cercle de rayon $second membre$ .

💡

Pour étudier la position d'une droite et d'un cercle, comparer $d (Ω, (D))$ à $r$ est en général plus rapide que de résoudre le système et calculer un discriminant. Réservez le discriminant au cas où l'on doit ensuite trouver les coordonnées des points d'intersection.

💡

La tangente à un cercle en un point $T$ est perpendiculaire au rayon $[Ω T]$ . Donc $Ω T$ est un vecteur normal de la tangente : un excellent point de départ pour trouver son équation cartésienne.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie analytique

Type 1 : Déterminer l'équation d'une droite

Quand ? On connaît deux points, ou un point et un vecteur directeur (ou la pente).

Avec deux points $A, B$ : calcule le vecteur directeur $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
Écris l'équation cartésienne : $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ en utilisant un vecteur normal $(a; b)$ , ou la forme $y = m x + p$ .
Détermine la pente $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ puis $p$ en remplaçant un point.
Mets sous la forme $a x + b y + c = 0$ .

Exemple éclair : Droite par $A (1; 2)$ et $B (3; 6)$ : pente $m = 2$ , donc $y = 2 x$ .

Type 2 : Étudier le parallélisme et l'orthogonalité de deux droites

Quand ? On veut savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires.

Lis les vecteurs directeurs $u$ et $v$ (ou les pentes $m$ et $m^{'}$ ).
Parallèles : $det (u, v) = 0$ , soit $m = m^{'}$ .
Perpendiculaires : $u \cdot v = 0$ , soit $m \times m^{'} = - 1$ .
Conclus sur la position relative.

Exemple éclair : $y = 2 x + 1$ et $y = - \frac{1}{2} x + 3$ sont perpendiculaires car $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ .

Type 3 : Calculer la distance d'un point à une droite

Quand ? On cherche $d (A, (D))$ pour une droite $(D) : a x + b y + c = 0$ .

Mets l'équation de la droite sous la forme $a x + b y + c = 0$ .
Applique la formule : $d (A, (D)) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Calcule le numérateur (valeur absolue) et le dénominateur.
Simplifie le résultat.

Exemple éclair : Distance de $A (0; 0)$ à $3 x + 4 y - 10 = 0$ : $\frac{∣ - 10∣}{9 + 16} = \frac{10}{5} = 2$ .

Type 4 : Déterminer l'équation d'un cercle

Quand ? On connaît le centre et le rayon, ou le centre et un point, ou un diamètre.

Avec centre $Ω (a; b)$ et rayon $r$ : écris $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
Si on a un point du cercle, calcule $r = Ω M$ .
Pour un diamètre $[A B]$ : le centre est le milieu de $[A B]$ et $r = \frac{A B}{2}$ .
Développe en $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ si demandé.

Exemple éclair : Cercle de centre $Ω (1; 2)$ et rayon $3$ : $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ .

Type 5 : Reconnaître un cercle à partir d'une équation développée

Quand ? On a $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ et on veut centre et rayon.

Regroupe les termes en $x$ et en $y$ .
Complète les carrés : $x^{2} + α x = (x + \frac{α}{2})^{2} - \frac{α ^{2}}{4}$ .
Mets sous la forme $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R$ .
Si $R > 0$ : cercle de centre $(a; b)$ et rayon $R$ ; si $R = 0$ : un point ; si $R < 0$ : ensemble vide.

Exemple éclair : $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ devient $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ : centre $(1; 2)$ , rayon $2$ .

Type 6 : Étudier l'intersection d'une droite et d'un cercle

Quand ? On cherche les points communs, ou la position relative (sécante, tangente, disjointe).

Méthode rapide : compare $d (Ω, (D))$ au rayon $r$ .
Si $d < r$ : sécante (2 points) ; $d = r$ : tangente (1 point) ; $d > r$ : pas d'intersection.
Pour les points : substitue l'équation de la droite dans celle du cercle.
Résous l'équation du second degré obtenue et donne les coordonnées.

Exemple éclair : Si $d (Ω, (D)) = 2$ et $r = 2$ , la droite est tangente au cercle.

Type 7 : Déterminer une tangente à un cercle

Quand ? On veut la tangente au cercle en un point $T$ du cercle.

Le rayon $Ω T$ est normal à la tangente.
Utilise $Ω T$ comme vecteur normal de la droite tangente.
Écris l'équation : $(x_{T} - x_{Ω}) (x - x_{T}) + (y_{T} - y_{Ω}) (y - y_{T}) = 0$ .
Développe et conclus.

Exemple éclair : Tangente en $T (3; 0)$ au cercle de centre $O$ : $O T (3; 0)$ normal, donc tangente $x = 3$ .

Géométrie analytique — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

15 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 15 corrigés

Exercices Faciles

2 exercices

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Facile

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points :

$A (2; 1; 1)$ , $B (5; 3; 1)$ , $C (- 1; - 2; 1)$ , $D (- 2; 3; 1)$ , $E (1; - 4; 1)$ et $F (4; - 2; 1)$ .

Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ , $C D$ et $E F$ .
Calculer les coordonnées des vecteurs $3 A B$ , $4 C D$ et $3 A B - 4 C D$ .
Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $A B C G$ soit un parallélogramme.
Calculer les coordonnées de $M$ , $N$ et $P$ milieux respectifs de $[A B]$ , $[A C]$ et $[B C]$ .

Ma réponse

Géométrie analytique

Géométrie analytique — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Repère orthonormé et coordonnées

Définition

2. Coordonnées d'un vecteur et norme

2.1 Coordonnées d'un vecteur

Définition

Propriété

2.2 Opérations sur les coordonnées

2.3 Norme d'un vecteur

Définition

3. Colinéarité de deux vecteurs : le déterminant

Définition

Définition

Propriété (critère de colinéarité)

4. Représentation paramétrique d'une droite

Propriété

5. Équation cartésienne d'une droite

Propriété

5.1 Vecteur directeur et vecteur normal

Propriété

5.2 Obtenir l'équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur

5.3 Coefficient directeur

Définition

6. Parallélisme et orthogonalité de deux droites

Propriété (parallélisme)

Propriété (orthogonalité)

7. Distance d'un point à une droite

Propriété

8. Équation cartésienne d'un cercle

Propriété

9. Position relative d'une droite et d'un cercle

Propriété

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Géométrie analytique

Type 1 : Déterminer l'équation d'une droite

Type 2 : Étudier le parallélisme et l'orthogonalité de deux droites

Type 3 : Calculer la distance d'un point à une droite

Type 4 : Déterminer l'équation d'un cercle

Type 5 : Reconnaître un cercle à partir d'une équation développée

Type 6 : Étudier l'intersection d'une droite et d'un cercle

Type 7 : Déterminer une tangente à un cercle

Géométrie analytique — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs, parallélogramme et milieux

Représentation paramétrique d'une droite et appartenance

Exercices Intermédiaires

Colinéarité, parallélisme et alignement

Déterminant et coplanarité de trois vecteurs

Plan défini par trois points et appartenance

Équation cartésienne d'un plan

Plan défini par trois points et représentation paramétrique

Équation cartésienne d'un plan par point et vecteurs directeurs

Intersection d'une droite et d'un plan

Des équations cartésiennes à la représentation paramétrique

Exercices Difficiles

Position relative de droites et intersection

Positions relatives de plans et intersection

Intersection plan-droite et équations cartésiennes d'une droite

Position relative de deux droites de l'espace

Positions relatives de trois plans

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Géométrie analytique

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone