Produit scalaire dans l'espace — Résumé de cours

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Produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire, déjà étudié dans le plan, se généralise à l'espace. Il constitue l'outil central pour traiter l'orthogonalité, les angles, les distances, ainsi que les équations de plans et de sphères. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ .

1. Rappel : produit scalaire dans le plan

On rappelle les trois expressions équivalentes du produit scalaire de deux vecteurs $u$ et $v$ :

Expression avec l'angle : $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ , où $θ$ est l'angle entre $u$ et $v$ .
Expression analytique (repère orthonormé) : si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
Expression avec la norme : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ .

2. Définition du produit scalaire dans l'espace

Définition

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l'espace. Il existe toujours un plan contenant des représentants de $u$ et $v$ . Le produit scalaire $u \cdot v$ est alors le produit scalaire de ces deux vecteurs calculé dans ce plan :

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$

où $θ = (u, v)$ est l'angle géométrique entre $u$ et $v$ . Si $u = 0$ ou $v = 0$ , on pose $u \cdot v = 0$ .

Le résultat ne dépend pas du plan choisi : le produit scalaire dans l'espace prolonge naturellement celui du plan.

Propriété (carré scalaire)

Pour tout vecteur $u$ : $u \cdot u = u^{2} = ∥ u ∥^{2}$ . En particulier $∥ u ∥ = u \cdot u$ .

3. Propriétés algébriques

Propriété (symétrie et bilinéarité)

Pour tous vecteurs $u, v, w$ et tout réel $λ$ :

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ .
Linéarité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .
Homogénéité : $(λ u) \cdot v = λ (u \cdot v) = u \cdot (λ v)$ .

On en déduit les identités remarquables vectorielles :

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}

4. Expression analytique dans un repère orthonormé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, i, j, k)$ , on a $i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1$ et $i \cdot j = j \cdot k = i \cdot k = 0$ .

Propriété

Si $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ , alors :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

De plus, la distance entre deux points $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ est :

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

5. Orthogonalité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux lorsque $u \cdot v = 0$ . On note $u ⊥ v$ .

Propriété

En repère orthonormé, $u (x, y, z) ⊥ v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ si et seulement si $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Exemple résolu 1

Soient $u (2, - 1, 3)$ et $v (1, 5, 1)$ . Calculons $u \cdot v$ :

$u \cdot v = 2 \times 1 + (- 1) \times 5 + 3 \times 1 = 2 - 5 + 3 = 0$ .

Donc $u ⊥ v$ : les deux vecteurs sont orthogonaux.

6. Angle de deux vecteurs

De la définition $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ , on tire la mesure de l'angle entre deux vecteurs non nuls :

cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} avec 0 \leq θ \leq π

Exemple résolu 2

Soient $u (1, 1, 0)$ et $v (1, 0, 1)$ . Déterminons l'angle $θ$ entre eux.

$u \cdot v = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$ .
$∥ u ∥ = 1 + 1 + 0 = 2$ , $∥ v ∥ = 1 + 0 + 1 = 2$ .
$cos θ = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$ , donc $θ = \frac{π}{3} = 60°$ .

7. Vecteur normal à un plan et équation cartésienne

Définition

Un vecteur non nul $n$ est un vecteur normal au plan $(P)$ s'il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de $(P)$ (autrement dit, $n$ est orthogonal au plan).

Propriété (caractérisation d'un plan)

Le plan $(P)$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ est l'ensemble des points $M (x, y, z)$ tels que $A M \cdot n = 0$ , ce qui donne :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

Propriété (équation cartésienne)

Tout plan de l'espace admet une équation cartésienne de la forme :

$a x + b y + cz + d = 0 avec (a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$

Réciproquement, une telle équation représente un plan dont $n (a, b, c)$ est un vecteur normal.

Exemple résolu 3

Déterminons l'équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A (1, 2, - 1)$ et de vecteur normal $n (3, - 2, 1)$ .

$A M \cdot n = 0$ donne $3 (x - 1) - 2 (y - 2) + 1 (z + 1) = 0$ , soit :

$3 x - 3 - 2 y + 4 + z + 1 = 0$ , c'est-à-dire $3 x - 2 y + z + 2 = 0$ .

8. Distance d'un point à un plan

Propriété

Soit $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ et $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ un point. La distance de $M_{0}$ au plan $(P)$ est :

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Exemple résolu 4

Calculons la distance du point $M_{0} (2, 0, 1)$ au plan $(P) : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ .

$d (M_{0}, P) = \frac{∣2 \times 2 - 0 + 2 \times 1 - 3∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣4 + 2 - 3∣}{9} = \frac{3}{3} = 1$ .

9. Équation d'une sphère

Définition

La sphère $(S)$ de centre $Ω (a, b, c)$ et de rayon $R > 0$ est l'ensemble des points $M$ tels que $Ω M = R$ , c'est-à-dire $Ω M^{2} = R^{2}$ .

Propriété (équation cartésienne d'une sphère)

$M (x, y, z)$ appartient à $(S)$ si et seulement si :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

En développant, on obtient une équation de la forme $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + e = 0$ . Réciproquement, une telle équation représente une sphère, un point, ou l'ensemble vide, selon le signe de $a^{2} + b^{2} + c^{2} - e$ .

Position relative d'un plan et d'une sphère

Soit $(S)$ de centre $Ω$ et de rayon $R$ , et $(P)$ un plan. On pose $d = d (Ω, P)$ :

Si $d > R$ : le plan ne coupe pas la sphère (intersection vide).
Si $d = R$ : le plan est tangent à la sphère (un seul point de contact).
Si $d < R$ : l'intersection est un cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2}$ .

10. Applications

Démontrer l'orthogonalité de droites ou de plans à l'aide des vecteurs normaux.
Calculer des angles entre vecteurs, droites ou plans.
Déterminer l'équation d'un plan passant par trois points (en cherchant un vecteur normal orthogonal à deux vecteurs du plan).
Étudier la position relative d'un plan et d'une sphère, déterminer le rayon d'un cercle d'intersection.
Trouver le plan tangent à une sphère en un point donné (le rayon $Ω M$ en est un vecteur normal).

🔑 Formules clés à retenir

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ — définition géométrique du produit scalaire
$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ — expression analytique en repère orthonormé
$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ — carré scalaire
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ — norme d'un vecteur
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ — distance entre deux points
$u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0 ⟺ x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ — orthogonalité
$cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ — angle de deux vecteurs
$∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ — identité remarquable
$∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ — identité remarquable
$u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ — expression avec la norme
$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ — plan par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de normal $n (a, b, c)$
$a x + b y + cz + d = 0$ — équation cartésienne d'un plan, de vecteur normal $n (a, b, c)$
$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ — distance d'un point à un plan
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ — sphère de centre $Ω (a, b, c)$ et de rayon $R$
$r = R^{2} - d^{2}$ — rayon du cercle d'intersection plan/sphère (cas $d < R$ )

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : oublier la valeur absolue dans la distance d'un point à un plan. La formule est $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ : une distance est toujours positive.

❌

Erreur : confondre les coordonnées du vecteur normal. Dans $a x + b y + cz + d = 0$ , le vecteur normal est $n (a, b, c)$ — surtout pas $d$ , qui n'intervient pas dans la direction.

❌

Erreur : écrire $u \cdot v = 0$ pour l'orthogonalité. Le produit scalaire est un nombre réel : on écrit $u \cdot v = 0$ (zéro scalaire), jamais le vecteur nul.

✅

Pour trouver l'équation d'un plan passant par trois points $A, B, C$ : cherche un vecteur normal $n (a, b, c)$ orthogonal à $A B$ et $A C$ (système $n \cdot A B = 0$ et $n \cdot A C = 0$ ), puis utilise $A M \cdot n = 0$ .

✅

Pour étudier la position d'un plan et d'une sphère, compare toujours $d (Ω, P)$ et $R$ : $d > R$ (pas d'intersection), $d = R$ (tangent), $d < R$ (cercle de rayon $R^{2} - d^{2}$ ).

💡

Avant d'appliquer $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ , vérifie le signe du produit scalaire : s'il est négatif, l'angle est obtus ( $θ > \frac{π}{2}$ ) ; s'il est nul, l'angle vaut $\frac{π}{2}$ .

💡

Pour reconnaître une sphère à partir de $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + e = 0$ , regroupe en carrés (forme canonique) : le centre se lit directement $Ω (a, b, c)$ et $R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - e$ doit être strictement positif.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Produit scalaire dans l'espace

Type 1 : Calculer un produit scalaire

Quand ? On veut $u \cdot v$ à partir des coordonnées ou des normes et de l'angle.

Avec coordonnées $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : applique $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
Avec normes et angle : $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ .
Choisis l'expression adaptée aux données.
Calcule et conclus.

Exemple éclair : $u (1; 2; 3) \cdot v (0; 1; - 1) = 0 + 2 - 3 = - 1$ .

Type 2 : Montrer l'orthogonalité de deux vecteurs

Quand ? On veut prouver que $u ⊥ v$ .

Calcule le produit scalaire $u \cdot v$ .
Si $u \cdot v = 0$ (avec $u, v$ non nuls), les vecteurs sont orthogonaux.
En géométrie, utilise $A B \cdot A C = 0$ pour un angle droit en $A$ .
Conclus.

Exemple éclair : $u (1; 1; 0) \cdot v (1; - 1; 0) = 1 - 1 + 0 = 0$ , donc $u ⊥ v$ .

Type 3 : Calculer une norme et une distance

Quand ? On cherche $∥ u ∥$ ou la distance $A B$ dans l'espace.

Norme : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2} = u \cdot u$ .
Distance : calcule d'abord $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
Puis $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Simplifie la racine.

Exemple éclair : Pour $A (0; 0; 0)$ et $B (2; 1; 2)$ , $A B = 4 + 1 + 4 = 3$ .

Type 4 : Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Quand ? On connaît un point et un vecteur normal du plan.

Note le vecteur normal $n (a; b; c)$ et un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ du plan.
L'équation s'écrit $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
Développe en $a x + b y + cz + d = 0$ .
Détermine $d$ en remplaçant les coordonnées de $A$ .

Exemple éclair : Plan de normale $n (1; 2; - 1)$ passant par $A (1; 0; 0)$ : $x + 2 y - z - 1 = 0$ .

Type 5 : Calculer la distance d'un point à un plan

Quand ? On cherche $d (A, (P))$ pour un plan $(P) : a x + b y + cz + d = 0$ .

Mets l'équation du plan sous la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
Applique la formule : $d (A, (P)) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Calcule numérateur et dénominateur séparément.
Simplifie le résultat.

Exemple éclair : Distance de $O$ au plan $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ : $\frac{∣ - 6∣}{4 + 1 + 4} = \frac{6}{3} = 2$ .

Type 6 : Étudier la position relative de deux plans

Quand ? On veut savoir si deux plans sont parallèles, confondus ou perpendiculaires.

Lis les vecteurs normaux $n_{1}$ et $n_{2}$ .
Parallèles ou confondus : $n_{1}$ et $n_{2}$ colinéaires.
Perpendiculaires : $n_{1} \cdot n_{2} = 0$ .
Pour distinguer parallèles/confondus : teste si un point d'un plan appartient à l'autre.

Exemple éclair : $x + y + z = 1$ et $2 x + 2 y + 2 z = 5$ ont des normales colinéaires : plans parallèles.

Type 7 : Déterminer l'équation d'une sphère

Quand ? On connaît le centre et le rayon, ou on doit reconnaître une sphère.

Centre $Ω (a; b; c)$ et rayon $r$ : écris $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$ .
Pour reconnaître : complète les carrés dans $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \dots = 0$ .
Mets sous la forme $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R$ .
Si $R > 0$ : sphère de rayon $R$ ; si $R = 0$ : un point ; si $R < 0$ : ensemble vide.

Exemple éclair : Sphère de centre $Ω (1; 0; 2)$ et rayon $3$ : $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 9$ .

Produit scalaire dans l'espace — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

2 exercices

Équations cartésiennes de plans par vecteur normal

Facile

Énoncé

Déterminer une équation cartésienne des plans suivants :

Le plan $(P)$ passant par le point $A (1; - 1; 0)$ et de vecteur normal $n (3; 2; - 1)$ .
Le plan $(Q)$ passant par le point $O$ et de vecteur normal $k$ .

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Vecteur normal et représentation paramétrique

Facile

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (- 1; 0; 1)$ et $B (1; 2; 0)$ et le plan $(P) : 2 x + 2 y - z + 3 = 0$ .

Vérifier que le vecteur $A B$ est normal au plan $(P)$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(A B)$ .

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Exercices Intermédiaires

6 exercices

Orthogonalité, droite et appartenance

Intermédiaire

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (- 1; - 3; - 2)$ , $B (0; 4; 2)$ , $C (2; 2; - 1)$ et $D (1; 1; 1)$ .

Montrer que $(A B) ⊥ (C D)$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(A C)$ .
Vérifier que le point $B^{'} (5; 7; 0)$ appartient à $(A C)$ .
Vérifier que le point $E (1; 2; - 3)$ n'appartient pas à $(A C)$ .

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Triangle rectangle isocèle et points non coplanaires

Intermédiaire

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A (1; - 2; - 1)$ , $B (3; 3; 0)$ et $C (6; 0; 0)$ .

Vérifier que les points $O$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Montrer que le triangle $O B C$ est rectangle et isocèle en $B$ .
Vérifier que les points $O$ , $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas coplanaires.

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Droite orthogonale à un plan et point d'intersection

Intermédiaire

Énoncé

On considère le plan $(P) : 4 x - 2 y + z + 1 = 0$ et la droite $(D) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = - 1 + \frac{1}{2} t z = - \frac{1}{4} t, t \in R$ .

Montrer que $(P)$ et $(D)$ sont orthogonaux.
Déterminer les coordonnées de $H$ , intersection de $(P)$ et $(D)$ .

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Distance d'un point à un plan et projeté orthogonal

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(P)$ le plan défini par l'équation $(P) : 2 x + 3 y - z + 4 = 0$ .

Calculer la distance du point $A (1; 0; 1)$ au plan $(P)$ , et en déduire que $A$ n'appartient pas à $(P)$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A$ et orthogonale à $(P)$ .
En déduire les coordonnées du point $H$ , projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$ .

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Équations de sphères

Intermédiaire

Énoncé

Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $Ω (2; - 1; 1)$ et de rayon $R = 5$ .
Déterminer une équation de la sphère $(S)$ de centre $A (4; - 1; 0)$ passant par le point $B (3; 5; 1)$ .
Soit l'ensemble $(S)$ d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 11 = 0$ . Montrer que $(S)$ est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.

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Sphère de diamètre [AB]

Intermédiaire

Énoncé

On considère les points $A (1; - 2; 1)$ et $B (3; 0; - 1)$ . Déterminer une équation de la sphère $(S)$ de diamètre $[A B]$ , par deux méthodes.

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Exercices Difficiles

6 exercices

Positions relatives de trois plans

Difficile

Énoncé

On considère les plans $(P) : 2 x + y - z + 1 = 0$ , $(Q) : x + \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z + 2 = 0$ et $(R) : x - 3 y - z + 3 = 0$ .

Montrer que $(P) // (Q)$ et que $(P) ⊥ (R)$ .
En déduire la position relative des plans $(Q)$ et $(R)$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ intersection des plans $(P)$ et $(R)$ .

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Plan tangent à une sphère et point de contact

Difficile

Énoncé

Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 5 = 0$ et le plan $(P) : 2 x - y - 2 z + 5 = 0$ .

Déterminer le centre $Ω$ de $(S)$ et son rayon $R$ .
Calculer $d (Ω, (P))$ puis en déduire que $(P)$ est tangent à $(S)$ en un point $H$ .
Déterminer les coordonnées du point de contact $H$ .

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Correction détaillée

Intersection d'un plan et d'une sphère : cercle

Difficile

Énoncé

Soit $(S)$ la sphère de centre $Ω (1; 1; - 1)$ et de rayon $R = 3$ , et $(P)$ le plan $(P) : x + y - z = 0$ .

Calculer $d (Ω, (P))$ puis en déduire que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(C)$ .
Déterminer les coordonnées du centre $H$ du cercle $(C)$ et son rayon $r$ .
a) Vérifier que le point $A (3; 3; 0) \in (S)$ . b) Déterminer l'équation du plan $(Q)$ tangent à $(S)$ en $A$ .

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Intersection d'une droite et de sphères

Difficile

Énoncé

Soit la droite $(D) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - 1 - t z = - t, t \in R$ . Déterminer l'intersection de $(D)$ avec la sphère $(S)$ dans chacun des cas :

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 1 = 0$ ;
$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 1 = 0$ .

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Plan tangent à une sphère et inégalité

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (2; 2; 2)$ , $B (2; 4; 0)$ , $C (6; 2; - 2)$ et la sphère $(S)$ de centre $Ω (3; 3; 3)$ et de rayon $r = 3$ .

a) Montrer que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. b) Montrer que $n (1; 1; 1)$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$ . c) Vérifier que $x + y + z - 6 = 0$ est une équation cartésienne de $(A B C)$ .
a) Montrer que $(A B C)$ est tangent à $(S)$ et que $A \in (S)$ . b) Déterminer les coordonnées du point de contact de $(A B C)$ et $(S)$ .
Soit $M (a; b; c)$ un point du plan $(A B C)$ . a) Montrer que $Ω M \geq r$ . b) En déduire que $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 12$ .

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Correction détaillée

Sphère tangente à un plan et point de contact

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (0; 1; 1)$ , $B (1; 0; 1)$ , $C (1; 1; 0)$ .

Montrer que $x + y + z - 2 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $O$ et tangente à $(A B C)$ .
Déterminer les coordonnées de $I$ , point de contact de $(S)$ et $(A B C)$ .

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Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Produit scalaire dans l'espace

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