Produit vectoriel — Résumé de cours

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Produit vectoriel

Le produit vectoriel est un outil fondamental de la géométrie dans l'espace. Contrairement au produit scalaire qui associe à deux vecteurs un nombre réel, le produit vectoriel associe à deux vecteurs un nouveau vecteur. Il permet de calculer des aires, de déterminer des vecteurs normaux à un plan, et d'aborder les volumes.

1. Orientation de l'espace

Pour définir le produit vectoriel, il faut d'abord orienter l'espace. On choisit une orientation de référence appelée orientation directe.

Définition

Un repère $(O; i, j, k)$ de l'espace est dit orthonormé direct lorsque les vecteurs $i, j, k$ sont deux à deux orthogonaux, unitaires, et orientés selon la règle de la main droite : si le pouce indique $i$ et l'index $j$ , alors le majeur indique $k$ .

On utilise aussi la règle du tire-bouchon : en tournant de $i$ vers $j$ par le plus court chemin, un tire-bouchon avance dans le sens de $k$ . Dans tout ce chapitre, l'espace est supposé muni d'une orientation directe.

2. Définition du produit vectoriel

Définition

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l'espace. Le produit vectoriel de $u$ par $v$ , noté $u \land v$ , est le vecteur défini par :

Si $u$ et $v$ sont colinéaires (ou si l'un est nul) : $u \land v = 0$ .
Sinon, $u \land v$ est l'unique vecteur tel que :
- Direction : $u \land v$ est orthogonal à la fois à $u$ et à $v$ (donc normal au plan engendré par $u$ et $v$ ) ;
- Sens : le triplet $(u, v, u \land v)$ est une base directe (règle de la main droite) ;
- Norme : $∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ$ , où $θ = (u, v)$ avec $0 \leq θ \leq π$ .

∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ

Remarque importante : comme $0 \leq θ \leq π$ , on a toujours $sin θ \geq 0$ , donc la norme est bien positive. Le sinus distingue le produit vectoriel du produit scalaire qui, lui, fait intervenir le cosinus.

3. Propriétés algébriques

Propriété (antisymétrie)

Pour tous vecteurs $u$ et $v$ : $u \land v = - v \land u$ .

En particulier : $u \land u = 0$ .

Propriété (bilinéarité)

Le produit vectoriel est linéaire par rapport à chacun de ses arguments. Pour tout réel $λ$ :

$(λ u) \land v = λ (u \land v) = u \land (λ v)$ ;
$u \land (v + w) = u \land v + u \land w$ ;
$(u + v) \land w = u \land w + v \land w$ .

Propriété (critère de colinéarité)

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $u \land v = 0$ .

Ce critère est très utile : pour montrer que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, il suffit de vérifier que $A B \land A C = 0$ .

Attention : le produit vectoriel n'est pas associatif, c'est-à-dire qu'en général $(u \land v) \land w \neq = u \land (v \land w)$ .

4. Expression analytique en repère orthonormé direct

On se place dans un repère orthonormé direct $(O; i, j, k)$ . Pour la base canonique :

i \land j = k, j \land k = i, k \land i = j

Propriété (formule analytique)

Si $u x y z$ et $v x^{'} y^{'} z^{'}$ , alors :

u \land v = y z^{'} - z y^{'} z x^{'} - x z^{'} x y^{'} - y x^{'}

Moyen mnémotechnique : chaque composante est un déterminant $2 \times 2$ obtenu en « cachant » la ligne correspondante :

u \land v = (det (y z y^{'} z^{'}); det (z x z^{'} x^{'}); det (x y x^{'} y^{'}))

où $det (a c b d) = a d - b c$ . Attention à l'ordre des lignes pour la deuxième composante ( $z, x$ et non $x, z$ ).

5. Aire d'un triangle et d'un parallélogramme

Propriété (interprétation géométrique de la norme)

La norme $∥ u \land v ∥$ est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $u$ et $v$ .

On en déduit, pour trois points $A$ , $B$ , $C$ :

A_{parall \overset{e}{ˊ} logramme} = ∥ A B \land A C ∥; A_{triangle A B C} = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥

6. Vecteur normal à un plan et équation cartésienne

Le produit vectoriel fournit un moyen direct d'obtenir un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs.

Propriété

Soit un plan $(P)$ passant par un point $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $u$ et $v$ . Alors $n = u \land v$ est un vecteur normal à $(P)$ .

Connaissant un vecteur normal $n a b c$ et un point $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ , le plan a pour équation cartésienne :

a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0

7. Distance d'un point à une droite

Propriété

Soit une droite $(Δ)$ passant par un point $A$ et de vecteur directeur $u$ , et soit $M$ un point de l'espace. La distance de $M$ à $(Δ)$ est :

d (M, Δ) = \frac{∥ A M \land u ∥}{∥ u ∥}

Cette formule provient de l'aire du parallélogramme : $∥ A M \land u ∥$ est l'aire du parallélogramme de côtés $A M$ et $u$ , et cette aire vaut aussi base $\times$ hauteur $= ∥ u ∥ \times d (M, Δ)$ .

8. Produit mixte et volume

Définition

Le produit mixte de trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ est le nombre réel : $(u, v, w) = (u \land v) \cdot w$ .

En repère orthonormé direct, il se calcule par le déterminant $3 \times 3$ :

(u \land v) \cdot w = det x y z x^{'} y^{'} z^{'} x^{''} y^{''} z^{''}

Propriété

La valeur absolue du produit mixte est égale au volume du parallélépipède construit sur $u$ , $v$ , $w$ . Le volume du tétraèdre $A B C D$ vaut :

V_{t \overset{e}{ˊ} tra \overset{e}{ˋ} dre} = \frac{1}{6} (A B \land A C) \cdot A D

De plus, trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.

9. Exemples résolus

Exemple 1 : aire d'un triangle

Dans un repère orthonormé direct, on considère $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 2)$ et $C (2, - 1, 4)$ . Calculons l'aire du triangle $A B C$ .

On a $A B 210$ et $A C 1 - 1 2$ .

Calcul du produit vectoriel :

1ère composante : $(1) (2) - (0) (- 1) = 2$ ;
2ème composante : $(0) (1) - (2) (2) = - 4$ ;
3ème composante : $(2) (- 1) - (1) (1) = - 3$ .

Donc $A B \land A C = 2 - 4 - 3$ , d'où $∥ A B \land A C ∥ = 2^{2} + (- 4)^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 16 + 9 = 29$ .

L'aire du triangle est : $A = \frac{1}{2} 29 \approx 2, 69$ .

Exemple 2 : équation d'un plan

Déterminons l'équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 2)$ et $C (2, - 1, 4)$ (mêmes points qu'à l'exemple 1).

Un vecteur normal est $n = A B \land A C = 2 - 4 - 3$ .

L'équation est donc : $2 (x - 1) - 4 (y - 0) - 3 (z - 2) = 0$ , soit après développement :

2 x - 4 y - 3 z + 4 = 0

Vérification avec $C (2, - 1, 4)$ : $2 (2) - 4 (- 1) - 3 (4) + 4 = 4 + 4 - 12 + 4 = 0$ . C'est correct.

Exemple 3 : distance d'un point à une droite

Soit la droite $(Δ)$ passant par $A (0, 1, 0)$ et de vecteur directeur $u 101$ , et le point $M (2, 1, 0)$ . Calculons $d (M, Δ)$ .

On a $A M 200$ . Calcul de $A M \land u$ :

1ère composante : $(0) (1) - (0) (0) = 0$ ;
2ème composante : $(0) (1) - (2) (1) = - 2$ ;
3ème composante : $(2) (0) - (0) (1) = 0$ .

Donc $A M \land u = 0 - 2 0$ , $∥ A M \land u ∥ = 2$ et $∥ u ∥ = 2$ .

d (M, Δ) = \frac{2}{2} = 2

🔑 Formules clés à retenir

$∥ u \land v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ$ — norme du produit vectoriel, avec $θ = (u, v)$ et $0 \leq θ \leq π$
$u \land v = - v \land u$ — antisymétrie
$u \land u = 0$ — produit vectoriel d'un vecteur par lui-même
$(λ u) \land v = λ (u \land v) = u \land (λ v)$ — homogénéité
$u \land (v + w) = u \land v + u \land w$ — distributivité (bilinéarité)
$u \land v = 0 ⟺ u et v colin \overset{e}{ˊ} aires$ — critère de colinéarité
$i \land j = k, j \land k = i, k \land i = j$ — base canonique directe
$u \land v = y z^{'} - z y^{'} z x^{'} - x z^{'} x y^{'} - y x^{'}$ — expression analytique avec $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$
$A_{parall \overset{e}{ˊ} logramme} = ∥ A B \land A C ∥$ — aire d'un parallélogramme
$A_{triangle} = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ — aire d'un triangle
$n = u \land v$ — vecteur normal à un plan dirigé par $u$ et $v$
$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ — équation d'un plan de normale $n (a, b, c)$ passant par $A$
$d (M, Δ) = \frac{∥ A M \land u ∥}{∥ u ∥}$ — distance d'un point à une droite de point $A$ et directeur $u$
$(u, v, w) = (u \land v) \cdot w$ — produit mixte
$(u \land v) \cdot w = det x y z x^{'} y^{'} z^{'} x^{''} y^{''} z^{''}$ — produit mixte par déterminant $3 \times 3$
$V_{parall \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} pip \overset{e}{ˋ} de} = (u \land v) \cdot w$ — volume d'un parallélépipède
$V_{t \overset{e}{ˊ} tra \overset{e}{ˋ} dre} = \frac{1}{6} (A B \land A C) \cdot A D$ — volume d'un tétraèdre
$(u \land v) \cdot w = 0 ⟺ u, v, w coplanaires$ — critère de coplanarité

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : croire que $u \land v = v \land u$ . Le produit vectoriel n'est PAS commutatif : il est antisymétrique, $u \land v = - v \land u$ . L'ordre des facteurs change le sens du vecteur résultat.

❌

Erreur : confondre produit vectoriel et produit scalaire. Le produit scalaire $u \cdot v$ donne un nombre (avec $cos θ$ ), le produit vectoriel $u \land v$ donne un vecteur (avec $sin θ$ ). Ne jamais écrire « $u \land v = 0$ » (scalaire) à la place de « $u \land v = 0$ » (vecteur).

❌

Erreur : se tromper de signe sur la deuxième composante de la formule analytique. La 2ème coordonnée est $z x^{'} - x z^{'}$ (et non $x z^{'} - z x^{'}$ ). Pensez à l'ordre cyclique des indices : $(y, z) \to (z, x) \to (x, y)$ .

✅

Pour vérifier votre produit vectoriel : le résultat $w = u \land v$ doit être orthogonal à $u$ ET à $v$ . Calculez $w \cdot u$ et $w \cdot v$ : vous devez trouver $0$ dans les deux cas.

✅

Pour prouver que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés : montrez que $A B \land A C = 0$ . Pour montrer que quatre points sont coplanaires : montrez que le produit mixte $(A B \land A C) \cdot A D = 0$ .

💡

Retenez l'ordre cyclique direct $i \to j \to k \to i$ . Dans le sens du cycle, le produit est positif ( $i \land j = k$ ) ; à contre-sens, il est négatif ( $j \land i = - k$ ). Cela évite de mémoriser chaque cas séparément.

💡

N'oubliez jamais le facteur $\frac{1}{2}$ pour l'aire d'un triangle et le facteur $\frac{1}{6}$ pour le volume d'un tétraèdre. La norme $∥ A B \land A C ∥$ seule donne l'aire du parallélogramme, pas celle du triangle.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Produit vectoriel

Type 1 : Calculer un produit vectoriel par les coordonnées

Quand ? On veut $u \land v$ avec $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ .

Applique la formule des composantes : $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}; z x^{'} - x z^{'}; x y^{'} - y x^{'})$ .
Calcule chaque composante en respectant l'ordre (technique des déterminants $2 \times 2$ ).
Vérifie en contrôlant l'orthogonalité : $(u \land v) \cdot u = 0$ .
Donne le vecteur résultat.

Exemple éclair : $i \land j = k$ , soit $(1; 0; 0) \land (0; 1; 0) = (0; 0; 1)$ .

Type 2 : Utiliser les propriétés du produit vectoriel

Quand ? On simplifie une expression vectorielle ou on justifie un calcul.

Antisymétrie : $u \land v = - (v \land u)$ .
Bilinéarité : $(α u) \land v = α (u \land v)$ et distributivité sur l'addition.
Cas nul : $u \land v = 0$ si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.
Applique la propriété adaptée pour simplifier.

Exemple éclair : $u \land u = 0$ car un vecteur est colinéaire à lui-même.

Type 3 : Montrer que des vecteurs sont colinéaires

Quand ? On veut prouver la colinéarité de $u$ et $v$ (ou l'alignement de points).

Calcule $u \land v$ .
Si $u \land v = 0$ , les vecteurs sont colinéaires.
Pour trois points $A, B, C$ : forme $A B \land A C$ .
S'il est nul, $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

Exemple éclair : $(1; 2; 3) \land (2; 4; 6) = 0$ car le second vecteur est le double du premier.

Type 4 : Calculer l'aire d'un triangle ou d'un parallélogramme

Quand ? On cherche l'aire d'une figure définie par des points de l'espace.

Forme deux vecteurs à partir d'un sommet : $A B$ et $A C$ .
Aire du parallélogramme : $∥ A B \land A C ∥$ .
Aire du triangle $A B C$ : $\frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥$ .
Calcule le produit vectoriel puis sa norme.

Exemple éclair : Si $A B \land A C = (0; 0; 6)$ , l'aire de $A B C$ vaut $\frac{1}{2} \times 6 = 3$ .

Type 5 : Déterminer un vecteur normal à un plan

Quand ? On connaît trois points du plan et on veut un vecteur normal (ou l'équation du plan).

Forme deux vecteurs du plan : $A B$ et $A C$ .
Calcule $n = A B \land A C$ : c'est un vecteur normal au plan.
Utilise $n (a; b; c)$ pour écrire l'équation $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .
Développe pour obtenir $a x + b y + cz + d = 0$ .

Exemple éclair : Si $A B \land A C = (1; 1; 1)$ , le plan a pour équation $x + y + z + d = 0$ .

Type 6 : Calculer le volume d'un parallélépipède ou d'un tétraèdre

Quand ? On cherche un volume défini par trois vecteurs (produit mixte).

Forme les trois vecteurs $A B, A C, A D$ .
Calcule le produit mixte $(A B \land A C) \cdot A D$ .
Volume du parallélépipède : $∣ (A B \land A C) \cdot A D ∣$ .
Volume du tétraèdre : $\frac{1}{6} ∣ (A B \land A C) \cdot A D ∣$ .

Exemple éclair : Un produit mixte égal à $12$ donne un tétraèdre de volume $\frac{12}{6} = 2$ .

Type 7 : Calculer la distance d'un point à une droite

Quand ? On cherche $d (M, (D))$ pour une droite passant par $A$ de vecteur directeur $u$ .

Forme le vecteur $A M$ .
Calcule le produit vectoriel $A M \land u$ .
Applique la formule : $d (M, (D)) = \frac{∥ A M \land u ∥}{∥ u ∥}$ .
Simplifie le résultat.

Exemple éclair : Si $∥ A M \land u ∥ = 10$ et $∥ u ∥ = 5$ , alors $d (M, (D)) = 2$ .

Produit vectoriel — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

8 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Intermédiaires

2 exercices

Sphère coupée par un plan, droite sécante

Intermédiaire

Énoncé

On considère la sphère $(S)$ d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$ et le plan $(P) : y - z = 0$ .

a) Montrer que le centre de $(S)$ est $Ω (1; 1; 1)$ et que son rayon est $R = 2$ .
b) Calculer $d (Ω; (P))$ et en déduire que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(C)$ .
c) Déterminer le centre et le rayon de $(C)$ .
Soit $(Δ)$ la droite passant par $A (1; - 2; 2)$ et orthogonale à $(P)$ .
a) Montrer que $u (0; 1; - 1)$ est un vecteur directeur de $(Δ)$ .
b) Montrer que $∥ Ω A \land u ∥ = 2 ∥ u ∥$ et en déduire que $(Δ)$ coupe $(S)$ en deux points.
c) Déterminer les coordonnées de chacun des points d'intersection.

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Plan défini par un produit vectoriel et sphère

Intermédiaire

Énoncé

Soient les points $A (0; 0; 1)$ , $B (1; 1; 1)$ , $C (2; 1; 2)$ .

a) Déterminer $A B \land A C$ .
b) En déduire une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Soient $E (5; 1; 4)$ , $F (- 1; 1; 12)$ et $(S)$ l'ensemble des points $M$ vérifiant $M E \cdot M F = 0$ . Montrer que $(S)$ est la sphère de centre $Ω (2; 1; 8)$ et de rayon $5$ .
a) Calculer $d (Ω; (A B C))$ .
b) En déduire que $(A B C)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(Γ)$ dont on précisera le rayon.

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Exercices Difficiles

6 exercices

Plan, sphère et cercle d'intersection

Difficile

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (0; - 1; 1)$ , $B (- 1; 1; 3)$ , $C (0; 1; 5)$ et l'ensemble $(S)$ des points $M (x; y; z)$ tels que :

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 12 z + 22 = 0$

a) Montrer que $A B \land A C = 4 i + 4 j - 2 k$ et en déduire que les points $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.
b) Montrer que $2 x + 2 y - z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $Ω (1; - 1; - 6)$ et de rayon $R = 4$ .
b) Calculer $d (Ω; (A B C))$ et en déduire que $(A B C)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $r = 7$ .
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $Ω$ et orthogonale à $(A B C)$ .
b) Déterminer les coordonnées du centre $H$ du cercle d'intersection.

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Plan tangent et cercle circonscrit

Difficile

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A (1; 0; 1)$ , $B (0; - 4; 4)$ , $C (3; - 4; 5)$ et la sphère $(S)$ d'équation :

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 4 y - 6 z + 8 = 0$

a) Montrer que $(S)$ est de centre $Ω (2; - 2; 3)$ et de rayon $3$ .
b) Vérifier que $A \in (S)$ , puis écrire une équation cartésienne du plan $(P)$ tangent à $(S)$ en $A$ .
a) Montrer que $A B \land A C = - 4 i + 10 j + 12 k$ et en déduire que $2 x - 5 y - 6 z + 4 = 0$ est une équation du plan $(A B C)$ .
b) Montrer que $(A B C)$ et $(P)$ sont orthogonaux.
c) Montrer que $(A B C)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(Γ)$ dont on déterminera le centre $H$ et le rayon.
Montrer que $(Γ)$ est le cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

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Plan et droite tangents à une sphère

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (1; 2; 1)$ , $B (1; 3; 1)$ , $C (1; 0; 1)$ et la sphère $(S)$ de centre $Ω (- 3; 0; 1)$ et de rayon $22$ .

Montrer que $O A \land O B = - i + k$ , puis en déduire que $x - z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(O A B)$ .
a) Montrer que le plan $(O A B)$ est tangent à $(S)$ en un point $H$ .
b) Déterminer les coordonnées du point de contact $H$ .
Soit $(Δ)$ la droite passant par $C$ et de vecteur directeur $u (2; 0; - 2)$ .
a) Déterminer une représentation paramétrique de $(Δ)$ .
b) Déterminer une équation cartésienne de $(S)$ .
c) Montrer que $(Δ)$ est tangente à $(S)$ et déterminer les coordonnées du point de contact.

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Sphère de diamètre [AB] et positions relatives

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (3; - 2; 2)$ , $B (- 1; 6; 4)$ , $C (5; 4; 4)$ et la sphère $(S)$ de diamètre $[A B]$ .

Vérifier que le triangle $A B C$ est rectangle en $C$ , puis en déduire que $C$ appartient à $(S)$ .
Montrer que l'équation de $(S)$ est $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 21$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ tangent à $(S)$ au point $C$ .
Soit $(Δ)$ la droite passant par $D (4; 3; 2)$ et de vecteur directeur $u (1; 0; 3)$ .
a) Montrer que $d (Ω; (Δ)) = 11$ , où $Ω$ est le centre de $(S)$ .
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(Δ)$ et $(S)$ .
Soit le plan $(Q) : x - 4 y + 2 z + d = 0$ . Trouver les valeurs de $d$ pour que $(Q)$ soit tangent à $(S)$ .

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Intersection de deux plans et tangence

Difficile

Énoncé

Soit $(S)$ l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - \frac{1}{4} = 0$ et $(P)$ le plan d'équation $y + z - 1 = 0$ .

Montrer que $(S)$ est une sphère dont on déterminera le centre $Ω$ et le rayon $R$ .
Montrer que $(P)$ est tangent à $(S)$ et déterminer leur point d'intersection.
Soit $(Q) : 2 x - y + z + 1 = 0$ . Montrer que $(P) ⊥ (Q)$ .
Soit $(D)$ l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ . Déterminer une représentation paramétrique de $(D)$ .
a) Montrer que $(D)$ est tangente à $(S)$ en un point à déterminer.
b) Montrer que $(Q)$ coupe $(S)$ suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

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Correction détaillée

Aire, distance et sphère dépendant d'un paramètre

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (1; 1; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ .

a) Déterminer les coordonnées de $A B \land A C$ .
b) Calculer l'aire du triangle $A B C$ .
c) Calculer la distance du point $B$ à la droite $(A C)$ .
d) Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Soit $(D)$ la droite passant par $C$ de vecteur directeur $u (1; 1; - 3)$ . Montrer que $(D) ⊥ (A B)$ .
Soit $(P) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0$ et $(S_{α})$ la sphère d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - 2 y + \frac{5}{4} - α = 0$ , avec $α > 0$ .
a) Déterminer, en fonction de $α$ , le centre $Ω$ et le rayon $R$ de $(S_{α})$ .
b) Déterminer la valeur de $α$ pour laquelle $(P)$ est tangent à $(S_{α})$ , puis déterminer les coordonnées du point de contact.

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Exercices supplémentaires

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Produit vectoriel

Produit vectoriel — Résumé de cours

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