Dérivation et étude de fonctions — Résumé de cours

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Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : la dérivée est l'outil central : coût marginal, recette marginale, et optimisation du profit (maximum) ou minimisation d'un coût.

I. Rappels de dérivation

Dérivées usuelles

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(sin x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sin x$

Règles de dérivation

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ (si $u > 0$ )

II. Dérivée d'une fonction composée

Théorème

Si $f$ est dérivable en $u (x)$ et $u$ est dérivable en $x$ , alors $f \circ u$ est dérivable en $x$ et :

$(f \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot f^{'} (u (x))$

Exemple : Dériver $h (x) = sin (x^{2} + 1)$ .
Pose $u (x) = x^{2} + 1$ , $f (t) = sin t$ . Alors $u^{'} (x) = 2 x$ et $f^{'} (t) = cos t$ .
$h^{'} (x) = 2 x cos (x^{2} + 1)$ .

III. Plan d'étude d'une fonction (7 étapes)

Domaine $D_{f}$
Parité, périodicité (pour réduire l'étude)
Limites aux bornes de $D_{f}$
Continuité et dérivabilité sur $D_{f}$
Signe de $f^{'}$ et tableau de variations
Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
Tracé de $C_{f}$

IV. Asymptote oblique

$y = a x + b$ est asymptote oblique à $C_{f}$ en $+ \infty$ ssi :

$a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ (finie, non nulle)
$b = x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ (finie)

V. Concavité et point d'inflexion

$f^{''} (x) > 0$ → $f$ convexe (courbe tournée vers le haut)
$f^{''} (x) < 0$ → $f$ concave (courbe tournée vers le bas)
Si $f^{''}$ change de signe en $x_{0}$ → point d'inflexion en $x_{0}$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Étudier complètement $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

Solution :

$D_{f} = R ∖ {1}$ .

Limites : $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ , $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ , $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ .
→ Asymptote verticale $x = 1$ .

Asymptote oblique : Division : $\frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .
$f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ en $\pm \infty$ → asymptote oblique $y = x + 1$ .

Dérivée : $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 2$ .
$f^{'}$ positif sur $] - \infty, 0 [\cup] 2, + \infty [$ .
Maximum local en 0 : $f (0) = 0$ . Minimum local en 2 : $f (2) = 4$ .

VII. Top 6 pièges à éviter

Confondre $(uv)^{'}$ et $u^{'} v^{'}$ .
Oublier le $u^{'}$ dans les dérivées composées.
Confondre asymptote oblique et direction asymptotique.
Étudier $f^{''}$ sans avoir terminé $f^{'}$ .
Croire que $f^{'} (x_{0}) = 0$ ⇒ extremum (ex : $f (x) = x^{3}$ ).
Tracer sans tableau de variations.

📈 Figure clé

Maximum d'une fonction (ex : profit)

🔑 Formules clés à retenir

Dérivée composée : $(f \circ u)^{'} = u^{'} \cdot f^{'} (u)$

Plan d'étude :

1. $D_{f}$ • 2. Parité • 3. Limites

4. $f^{'}$ • 5. Tableau • 6. Asymptotes • 7. Tracé

Asymptote oblique $y = a x + b$ :

$a = lim f / x$ , $b = lim (f - a x)$

Concavité : signe de $f^{''}$

$f^{''} > 0$ : convexe
$f^{''} < 0$ : concave
changement de signe : inflexion

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour les fonctions rationnelles, utilise la division euclidienne pour trouver l'asymptote oblique : c'est instantané.
🎯 Le tableau de variations doit toujours inclure les limites aux bornes.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dérivation et étude de fonctions

Type 1 : Calculer une dérivée

Quand ? On demande $f^{'} (x)$ pour une fonction usuelle ou une combinaison (somme, produit, quotient, composée).

Identifier la structure : produit $uv$ , quotient $\frac{u}{v}$ , composée, ou somme.
Appliquer la formule : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .
Simplifier et, si possible, factoriser pour préparer l'étude du signe.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x}{x + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

Type 2 : Étudier les variations (signe de $f^{'}$ )

Quand ? On demande le sens de variation de $f$ ou son tableau de variations.

Calculer $f^{'} (x)$ puis factoriser l'expression.
Dresser le tableau de signes de $f^{'} (x)$ sur le domaine.
Conclure : $f$ croissante là où $f^{'} > 0$ , décroissante là où $f^{'} < 0$ ; reporter dans le tableau de variations avec limites/valeurs aux bornes.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2} - 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 4$ , donc $f$ décroît sur $] - \infty; 2]$ et croît sur $[2; + \infty [$ .

Type 3 : Extremum local (maximum / minimum)

Quand ? On cherche un maximum ou un minimum d'une fonction (très fréquent en optimisation économique).

Calculer $f^{'} (x)$ et résoudre $f^{'} (x) = 0$ .
Étudier le signe de $f^{'}$ autour de chaque solution $x_{0}$ .
Si $f^{'}$ change de $+$ à $-$ : maximum en $x_{0}$ ; de $-$ à $+$ : minimum. Calculer $f (x_{0})$ pour la valeur extrême.

Exemple éclair : $f (x) = - x^{2} + 6 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x + 6 = 0$ en $x = 3$ ; $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ donc maximum $f (3) = 9$ .

Type 4 : Équation de la tangente

Quand ? On demande l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

Calculer $f (a)$ (ordonnée du point de contact).
Calculer $f^{'} (a)$ (coefficient directeur de la tangente).
Écrire $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ en $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , tangente $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ .

Type 5 : Optimisation d'un coût

Quand ? On donne un coût total $C (q)$ et on cherche la quantité $q$ qui minimise le coût (total ou moyen).

Préciser la fonction : coût total $C (q)$ ou coût moyen $C_{M} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ ; identifier l'intervalle des $q$ admissibles ( $q > 0$ ).
Dériver et résoudre $C^{'} (q) = 0$ (ou $C_{M}^{'} (q) = 0$ ).
Vérifier par le signe de la dérivée qu'il s'agit d'un minimum, puis calculer le coût optimal.

Exemple éclair : $C (q) = q^{2} + 100$ , $C_{M} (q) = q + \frac{100}{q}$ ; $C_{M}^{'} (q) = 1 - \frac{100}{q ^{2}} = 0$ donne $q = 10$ : coût moyen minimal.

Type 6 : Maximiser la recette

Quand ? On connaît le prix $p (q)$ (ou la demande) et on cherche la quantité qui maximise la recette $R (q) = p (q) \times q$ .

Écrire la recette $R (q) = p (q) \cdot q$ et la simplifier.
Calculer $R^{'} (q)$ (recette marginale) et résoudre $R^{'} (q) = 0$ .
Vérifier que $R^{'}$ passe de $+$ à $-$ (maximum), puis calculer $R$ et le prix correspondants.

Exemple éclair : $p (q) = 20 - q \Rightarrow R (q) = 20 q - q^{2}$ ; $R^{'} (q) = 20 - 2 q = 0$ en $q = 10$ : recette maximale $R (10) = 100$ .

Type 7 : Maximiser le profit (bénéfice)

Quand ? On dispose de la recette $R (q)$ et du coût $C (q)$ ; on cherche la production qui maximise le profit $B (q) = R (q) - C (q)$ .

Former le profit $B (q) = R (q) - C (q)$ .
Dériver : $B^{'} (q) = R^{'} (q) - C^{'} (q)$ et résoudre $B^{'} (q) = 0$ (soit recette marginale = coût marginal).
Vérifier le signe de $B^{'}$ (passage $+$ vers $-$ ) pour confirmer le maximum, puis calculer le profit maximal $B (q)$ .

Exemple éclair : $R (q) = 20 q - q^{2}$ , $C (q) = q^{2} + 4$ : $B (q) = - 2 q^{2} + 20 q - 4$ , $B^{'} (q) = - 4 q + 20 = 0$ en $q = 5$ , profit max $B (5) = 46$ .

Type 8 : Plan complet d'étude d'une fonction

Quand ? Exercice de synthèse : étudier $f$ et tracer sa courbe.

Domaine de définition $D_{f}$ et valeurs interdites.
Limites aux bornes de $D_{f}$ et asymptotes éventuelles.
Dérivée $f^{'}$ , signe, tableau de variations.
Quelques points (intersections avec les axes) puis tracé soigné de $C_{f}$ .

Exemple éclair : Pour $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ : $D_{f} = R ∖ {1}$ , asymptotes $x = 1$ et $y = 1$ , $f^{'} (x) = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}} < 0$ donc $f$ décroissante sur chaque intervalle.

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

22 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 22 corrigés

Exercices Faciles

9 exercices

Dérivée composée

Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de

f (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Dérivation et étude de fonctions

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I. Rappels de dérivation

Dérivées usuelles

Règles de dérivation

II. Dérivée d'une fonction composée

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III. Plan d'étude d'une fonction (7 étapes)

IV. Asymptote oblique

V. Concavité et point d'inflexion

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 6 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Dérivation et étude de fonctions

Type 1 : Calculer une dérivée

Type 2 : Étudier les variations (signe de f′)

Type 3 : Extremum local (maximum / minimum)

Type 4 : Équation de la tangente

Type 5 : Optimisation d'un coût

Type 6 : Maximiser la recette

Type 7 : Maximiser le profit (bénéfice)

Type 8 : Plan complet d'étude d'une fonction

Dérivation et étude de fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Dérivée composée

Dérivée seconde et concavité

Dérivée polynôme degré élevé

Dérivée composition simple

Dérivée d'un quotient

Dérivée et signe

Dérivée et tangente horizontale

Coût marginal et coût moyen

Seuil de rentabilité

Exercices Intermédiaires

Point d'inflexion

Inégalité par variations

Étude complète avec asymptote oblique

Étude variations + extremum

Concavité et point d'inflexion

Tangentes parallèles

Étude de variations + tableau

Dérivée de fonction composée

Extremums absolus

Convexité et point d'inflexion

Maximum du bénéfice

Coût moyen minimal

Profit avec prix variable

Exercices supplémentaires

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