Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : les suites modélisent les placements à intérêts composés, l'amortissement d'un emprunt et la croissance d'un capital (maths financières).

I. Rappels (suites arithmétiques et géométriques)

	Arithmétique	Géométrique
Raison	$r$ (on ajoute)	$q$ (on multiplie)
Récurrence	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} q^{n}$
Somme	$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$	$S_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ )

II. Convergence d'une suite

Définition

$(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ (limite finie).
Sinon, on dit que $(u_{n})$ diverge.

Cas particulier : suites géométriques

Si $∣ q ∣ < 1$ : $lim q^{n} = 0$ , donc $u_{n} = u_{0} q^{n} \to 0$
Si $q = 1$ : $u_{n} = u_{0}$ (constante)
Si $q > 1$ : $lim q^{n} = + \infty$ → diverge
Si $q \leq - 1$ : pas de limite (oscille)

III. Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème des gendarmes

Si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ et $lim v_{n} = lim w_{n} = ℓ$ , alors $lim u_{n} = ℓ$ .

IV. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Méthode standard

Montrer par récurrence que $u_{n} \in I$ (intervalle stable par $f$ )
Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ : comparer $u_{1}$ et $u_{0}$ , puis raisonner
Si croissante + majorée OU décroissante + minorée → convergence
Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et $f$ continue : $ℓ = f (ℓ)$

V. Raisonnement par récurrence

Principe

Pour montrer qu'une propriété $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ :

Initialisation : vérifier $P (n_{0})$
Hérédité : supposer $P (n)$ vraie et démontrer $P (n + 1)$
Conclusion : par principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .
1) Montrer par récurrence que $u_{n} < 6$ pour tout $n$ .
2) Montrer que $(u_{n})$ est croissante.
3) En déduire qu'elle converge et trouver sa limite.

Solution :

1) Init : $u_{0} = 1 < 6$ ✓.
Hérédité : supposons $u_{n} < 6$ . Alors $\frac{u _{n}}{2} < 3$ , et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3 < 3 + 3 = 6$ ✓.
Donc $u_{n} < 6$ pour tout $n$ .

2) $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n}}{2} + 3 - u_{n} = 3 - \frac{u _{n}}{2} > 0$ car $u_{n} < 6$ .
Donc $(u_{n})$ est croissante.

3) Croissante et majorée → converge vers $ℓ$ .
Par continuité : $ℓ = \frac{ℓ}{2} + 3 \Rightarrow \frac{ℓ}{2} = 3 \Rightarrow ℓ = 6$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Croire que $u_{n}$ bornée ⇒ $u_{n}$ converge. FAUX (ex : $u_{n} = (- 1)^{n}$ ).
Conclure $ℓ = f (ℓ)$ sans justifier la continuité.
Oublier que pour $∣ q ∣ < 1$ , $q^{n} \to 0$ (cas suite géométrique).
Croire que $u_{n} \to ℓ \Rightarrow u_{n}$ atteint $ℓ$ . Pas nécessairement.

📈 Figure clé

Capital à intérêts composés

🔑 Formules clés à retenir

Convergence : $lim u_{n} = ℓ$ (finie)

Suite géométrique :

$∣ q ∣ < 1$ : $u_{n} \to 0$
$∣ q ∣ > 1$ : $u_{n} \to \pm \infty$

Convergence monotone :

croissante + majorée → converge

Gendarmes : $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ , $v, w \to ℓ$

$\Rightarrow u_{n} \to ℓ$

Récurrence :

$u_{n + 1} = f (u_{n})$ , $u_{n} \to ℓ$ , $f$ continue

$\Rightarrow ℓ = f (ℓ)$

Récurrence math : init + hérédité + conclusion

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour la convergence : croissante + majorée OU décroissante + minorée. C'est LA méthode standard.
🎯 Astuce pour trouver $ℓ$ : résoudre $ℓ = f (ℓ)$ AVANT de prouver la convergence. Tu auras le candidat-limite.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Reconnaître une suite arithmétique

Quand ? On soupçonne que la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et montrer que le résultat ne dépend pas de $n$ : c'est la raison $r$ .
Conclure que $(u_{n})$ est arithmétique de premier terme $u_{0}$ (ou $u_{1}$ ) et de raison $r$ .
Donner le terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ).

Exemple éclair : $u_{n} = 3 n + 2$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 3$ , donc arithmétique de raison $r = 3$ .

Type 2 : Reconnaître une suite géométrique

Quand ? On soupçonne que le rapport entre deux termes consécutifs est constant (termes non nuls).

Calculer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ et montrer que c'est une constante $q$ (raison).
Conclure que $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ .
Donner le terme général : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ ).

Exemple éclair : $u_{n} = 5 \times 2^{n}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2$ , donc géométrique de raison $q = 2$ .

Type 3 : Trouver le terme général via une suite auxiliaire

Quand ? Suite récurrente du type $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ; on définit $v_{n}$ pour s'y ramener.

Poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ où $ℓ$ est le point fixe ( $ℓ = a ℓ + b$ ).
Montrer que $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ , donc $v_{n} = v_{0} a^{n}$ .
Revenir à $u_{n} = v_{n} + ℓ$ pour obtenir l'expression de $u_{n}$ .

Exemple éclair : $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ : point fixe $ℓ = 3$ , $v_{n} = u_{n} - 3$ géométrique de raison $2$ , d'où $u_{n} = (u_{0} - 3) 2^{n} + 3$ .

Type 4 : Démonstration par récurrence

Quand ? On demande de prouver qu'une propriété $P (n)$ (formule, encadrement, monotonie) est vraie pour tout $n$ .

Initialisation : vérifier $P (n_{0})$ pour le premier rang (souvent $n = 0$ ou $n = 1$ ).
Hérédité : supposer $P (n)$ vraie et démontrer $P (n + 1)$ .
Conclusion : par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

Exemple éclair : Montrer $u_{n} > 0$ : si $u_{0} > 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 1$ , alors $u_{n} > 0 \Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} + 1 > 0$ : héréditaire.

Type 5 : Calculer une somme de termes

Quand ? On demande $S = u_{p} + \dots + u_{n}$ pour une suite arithmétique ou géométrique.

Identifier le type (arithmétique ou géométrique) et le nombre de termes $N$ .
Arithmétique : $S = N \times \frac{premier + dernier}{2}$ .
Géométrique ( $q \neq = 1$ ) : $S = premier \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ .

Exemple éclair : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

Type 6 : Étudier la monotonie d'une suite

Quand ? On demande si $(u_{n})$ est croissante ou décroissante.

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et étudier son signe : positif $\Rightarrow$ croissante, négatif $\Rightarrow$ décroissante.
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Conclure sur le sens de variation pour tout $n$ .

Exemple éclair : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 1 > 0$ , donc $(u_{n})$ est croissante.

Type 7 : Limite d'une suite géométrique

Quand ? On demande $n \to + \infty lim u_{n}$ pour une suite contenant $q^{n}$ .

Mettre $u_{n}$ sous une forme faisant apparaître $q^{n}$ .
Appliquer : si $- 1 < q < 1$ alors $lim q^{n} = 0$ ; si $q > 1$ alors $lim q^{n} = + \infty$ .
En déduire la limite de $u_{n}$ (et l'interpréter, par ex. stabilisation d'un capital).

Exemple éclair : $u_{n} = 3 + (\frac{1}{2})^{n}$ : comme $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ , on a $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .

Type 8 : Application financière (intérêts)

Quand ? Problème de capital, d'épargne ou d'emprunt avec versements ou taux d'intérêt périodique.

Intérêts simples (montant fixe ajouté) : modéliser par une suite arithmétique $C_{n} = C_{0} + n i$ .
Intérêts composés (taux $t$ par période) : modéliser par une suite géométrique $C_{n} = C_{0} (1 + t)^{n}$ .
Utiliser le terme général ou les formules de sommes pour calculer le capital après $n$ périodes ou le total des versements.

Exemple éclair : Capital $10000$ à $5%$ composé : $C_{n} = 10000 \times (1, 05)^{n}$ , donc après $3$ ans $C_{3} = 10000 \times (1, 05)^{3} \approx 11576$ DH.

Suites numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

23 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 23 corrigés

Exercices Faciles

10 exercices

Placement à intérêts composés

Facile

Énoncé

Une personne place un capital de $C_{0} = 10000$ DH sur un compte rémunéré à un taux annuel de $4%$ à intérêts composés. On note $C_{n}$ le capital disponible après $n$ années.

Justifier que $(C_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer le capital disponible après $3$ années (arrondir au dirham).

Ma réponse

Suites numériques

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I. Rappels (suites arithmétiques et géométriques)

II. Convergence d'une suite

Définition

Cas particulier : suites géométriques

III. Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone

Théorème des gendarmes

IV. Suites récurrentes un+1​=f(un​)

Méthode standard

V. Raisonnement par récurrence

Principe

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Reconnaître une suite arithmétique

Type 2 : Reconnaître une suite géométrique

Type 3 : Trouver le terme général via une suite auxiliaire

Type 4 : Démonstration par récurrence

Type 5 : Calculer une somme de termes

Type 6 : Étudier la monotonie d'une suite

Type 7 : Limite d'une suite géométrique

Type 8 : Application financière (intérêts)

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Placement à intérêts composés

Amortissement d'un équipement

Limite suite géométrique

Suite par récurrence simple

Somme géométrique

Reconnaissance de nature

Somme partielle

Limite d'une suite géométrique

Limite d'une suite arithmétique

Termes d'une suite récurrente

Exercices Intermédiaires

Comparaison de deux placements

Versements annuels et capital total

Remboursement d'une dette

Convergence par théorème des gendarmes

Démonstration par récurrence

Suite récurrente : étude convergence

Limite d'une suite définie par récurrence

Récurrence math

Démonstration encadrement

Limite par convergence monotone

Récurrence : monotonie

Récurrence : majoration

Suite et théorème de convergence

Exercices supplémentaires

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Quiz — Suites numériques

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IV. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$