Fonctions logarithmes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : le logarithme sert à linéariser des modèles de croissance, calculer une durée de placement et mesurer des élasticités.

I. La fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $ln$ , est définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$ln (1) = 0$ , $ln (e) = 1$ (où $e \approx 2, 718$ )
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

$ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

Pour $a > 0$ , $b > 0$ , $n \in Z$ :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$
$ln a = \frac{1}{2} ln a$
$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$

III. Limites importantes

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (croissance comparée)
$x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée)

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (si $u > 0$ )

Équations et inéquations

$ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$ (avec $x > 0$ )
$ln x < a \Leftrightarrow 0 < x < e^{a}$
$ln x = ln y \Leftrightarrow x = y$ (avec $x, y > 0$ )

V. Logarithme décimal

$lo g x = \frac{ln x}{ln 10}$ : utilisé en sciences physiques (pH, décibels...).

$lo g (10) = 1$ , $lo g (100) = 2$ , etc.

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = x ln x - x$ sur $] 0, + \infty [$ .
1) Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations.

Solution :

1) $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (croissance comparée), donc $lim f (x) = 0 - 0 = 0$ .

2) $f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = ln x$ .
$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .
$f$ décroissante sur $] 0, 1]$ , croissante sur $[1, + \infty [$ .
Minimum en $x = 1$ : $f (1) = 1 \times 0 - 1 = - 1$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $ln (a + b) = ln a + ln b$ . FAUX. La formule correcte est $ln (ab)$ .
Calculer $(ln u)^{'} = \frac{1}{u}$ . FAUX, il faut $\frac{u ^{'}}{u}$ .
Oublier la condition $u > 0$ pour $ln u$ .
Résoudre $ln (x) = - 2$ en oubliant que $x = e^{- 2} > 0$ , donc solution valide.
Croire que $ln x < 0$ implique $x < 0$ . FAUX, $ln x < 0$ ssi $0 < x < 1$ .

📈 Figure clé

Courbe de

ln x

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $ln :] 0, + \infty [\to R$

$(ln x)^{'} = 1/ x$ , $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$

Propriétés :

$ln (ab) = ln a + ln b$
$ln (a / b) = ln a - ln b$
$ln (a^{n}) = n ln a$

Limites :

$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$
$x \to + \infty lim ln x / x = 0$

Dérivée : $(ln u)^{'} = u^{'} / u$

Équation : $ln x = a \Leftrightarrow x = e^{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $ln$ transforme un PRODUIT en SOMME. Très utile pour dériver des fonctions complexes.
🎯 Pour résoudre $ln u (x) = ln v (x)$ : vérifier $u (x) > 0$ et $v (x) > 0$ , puis $u = v$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec $ln$

Quand ? On demande de simplifier ou de transformer une écriture contenant des $ln$ .

Appliquer les propriétés : $ln (ab) = ln a + ln b$ et $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ .
Utiliser $ln (a^{n}) = n ln a$ et $ln a = \frac{1}{2} ln a$ (pour $a > 0$ ).
Regrouper ou factoriser ; se souvenir que $ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ .

Exemple éclair : $ln 12 = ln (4 \times 3) = 2 ln 2 + ln 3$ .

Type 2 : Domaine de définition d'une fonction avec $ln$

Quand ? La fonction contient $ln (u (x))$ ; on cherche son domaine.

Poser la condition d'existence : l'argument du logarithme doit être strictement positif, soit $u (x) > 0$ .
Résoudre l'inéquation $u (x) > 0$ (tableau de signes si besoin).
Tenir compte des autres contraintes (dénominateurs, racines) puis donner $D_{f}$ .

Exemple éclair : $f (x) = ln (x - 2)$ existe pour $x - 2 > 0$ , donc $D_{f} =] 2; + \infty [$ .

Type 3 : Résoudre une équation avec $ln$

Quand ? L'inconnue apparaît dans un ou plusieurs $ln$ .

Déterminer d'abord les conditions d'existence (arguments $> 0$ ).
Regrouper en un seul $ln$ de chaque côté, puis utiliser $ln A = ln B \Leftrightarrow A = B$ (ou $ln A = k \Leftrightarrow A = e^{k}$ ).
Résoudre l'équation obtenue puis vérifier que les solutions respectent les conditions d'existence.

Exemple éclair : $ln (x) + ln (x - 1) = ln 6$ avec $x > 1$ : $x (x - 1) = 6 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ (on rejette $- 2$ ).

Type 4 : Résoudre une inéquation avec $ln$

Quand ? On compare des logarithmes ou un $ln$ à un nombre.

Poser les conditions d'existence (arguments $> 0$ ).
Utiliser la croissance de $ln$ : $ln A < ln B \Leftrightarrow A < B$ (le sens est conservé) ; et $ln A < k \Leftrightarrow A < e^{k}$ .
Résoudre puis intersecter avec le domaine d'existence.

Exemple éclair : $ln (x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ , car $ln 1 = 0$ et $ln$ est croissante.

Type 5 : Dériver une fonction avec $ln$

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction contenant $ln$ .

Rappeler $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et, plus généralement, $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .
Combiner avec les règles produit / quotient si nécessaire.
Simplifier l'expression de $f^{'} (x)$ pour préparer l'étude du signe.

Exemple éclair : $f (x) = ln (x^{2} + 1) \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 6 : Limites faisant intervenir $ln$

Quand ? Limite en $0^{+}$ , en $+ \infty$ , ou FI du type $\frac{ln x}{x}$ .

Limites de référence : $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ et $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ .
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}} = 0$ .
Au voisinage de $0$ : $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ .

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ : $x$ l'emporte sur $ln x$ .

Type 7 : Étude complète de $x \mapsto ln (\dots)$

Quand ? Exercice de synthèse demandant variations et courbe d'une fonction logarithme.

Domaine de définition (argument $> 0$ ) et limites aux bornes (asymptote verticale là où l'argument tend vers $0^{+}$ ).
Calculer $f^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{u}$ ; son signe est celui de $u^{'}$ (car $u > 0$ ) : en déduire les variations.
Tableau de variations, point(s) particuliers ( $f (x) = 0$ ) et tracé de $C_{f}$ .

Exemple éclair : $f (x) = ln x$ : $D_{f} =] 0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0$ (croissante), asymptote verticale $x = 0$ , passe par $(1; 0)$ .

Type 8 : Application au temps de croissance (éco)

Quand ? On cherche le nombre de périodes pour qu'un capital/une grandeur atteigne un objectif (l'inconnue est en exposant).

Écrire l'équation, par ex. $C_{0} (1 + t)^{n} = S$ , l'inconnue $n$ étant en exposant.
Appliquer $ln$ aux deux membres : $n ln (1 + t) = ln (\frac{S}{C _{0}})$ .
Isoler $n = \frac{ln ( S / C _{0} )}{ln ( 1 + t )}$ puis arrondir au nombre entier de périodes adapté.

Exemple éclair : Doubler un capital à $5%$ : $1, 0 5^{n} = 2 \Rightarrow n = \frac{ln 2}{ln 1 , 05} \approx 14, 2$ , soit $15$ ans.

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

9 exercices

Équation logarithmique

Facile

Énoncé

Résoudre dans

R

ln (x + 2) = 3

Ma réponse

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. La fonction logarithme népérien

Définition

II. Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

III. Limites importantes

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

Équations et inéquations

V. Logarithme décimal

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Fonctions logarithmes

Type 1 : Simplifier une expression avec ln

Type 2 : Domaine de définition d'une fonction avec ln

Type 3 : Résoudre une équation avec ln

Type 4 : Résoudre une inéquation avec ln

Type 5 : Dériver une fonction avec ln

Type 6 : Limites faisant intervenir ln

Type 7 : Étude complète de x↦ln(⋯)

Type 8 : Application au temps de croissance (éco)

Fonctions logarithmes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équation logarithmique

Équation logarithmique simple

Équation ln

Calcul direct

Domaine d'une fonction ln

Simplification de $\ln$

Équation $\ln$

Propriétés du ln

Simplification d'expressions ln

Exercices Intermédiaires

Dérivée de ln(u)

Étude de variations avec ln

Limite avec ln

Limite avec ln

Dérivée et étude

Équation logarithmique

Dérivée d'une composition

Inéquation $\ln$

Dérivée de $\ln$ composée

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Fonctions logarithmes

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone

Type 1 : Simplifier une expression avec $ln$

Type 2 : Domaine de définition d'une fonction avec $ln$

Type 3 : Résoudre une équation avec $ln$

Type 4 : Résoudre une inéquation avec $ln$

Type 5 : Dériver une fonction avec $ln$

Type 6 : Limites faisant intervenir $ln$

Type 7 : Étude complète de $x \mapsto ln (\dots)$