Un investisseur doit recevoir une somme de $50000$ dirhams dans $n$ années. Avec un taux d'actualisation continu de $5\%$, la valeur actuelle (valeur aujourd'hui) de cette somme est donnée par $A(n)=50000e^{-0,05n}$.

1. Calculer la valeur actuelle de cette somme si elle est reçue dans $3$ ans.
2. L'investisseur estime qu'une valeur actuelle de $35000$ dirhams est son seuil d'acceptation. Résoudre l'inéquation $A(n)\ge 35000$ et interpréter.
3. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }A(n)$ et interpréter économiquement.

La quantité demandée d'un produit (en milliers d'unités) en fonction de son prix $x$ (en dizaines de dirhams) est modélisée par $D(x)=120e^{-0,2x}$ pour $x\in [0;20]$.

1. Calculer la quantité demandée pour un prix de $50$ dirhams (soit $x=5$).
2. Étudier les variations de $D$ sur $[0;20]$.
3. La recette est donnée par $R(x)=x\times D(x)=120x{e}^{-0,2x}$ (en milliers de dizaines de dirhams). Calculer $R^{\prime }(x)$ et déterminer le prix qui maximise la recette.

Un capital de $20000$ dirhams est placé à intérêts composés continus au taux annuel de $6\%$. Sa valeur après $t$ années est $C(t)=20000e^{0,06t}$.

1. Quelle est la valeur du capital au bout de $10$ ans (arrondir au dirham) ?
2. Déterminer le temps nécessaire pour que le capital double. (On donne $\ln 2\approx 0,693$.)
3. On considère $f(t)=\ln (C(t))$. Montrer que $f$ est une fonction affine et préciser son coefficient directeur.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :

$e^{x^2-3x}\le e^{-2}$.

Un capital placé évolue selon la fonction $V(t)=8000e^{0,05t}$, où $V(t)$ est la valeur en dirhams après $t$ années ($t\ge 0$).

1. Quelle est la valeur initiale du capital ?
2. Calculer la valeur au bout de $10$ ans (arrondir au dirham). On donne $e^{0,5}\approx 1,6487$.
3. Au bout de combien d'années la valeur atteint-elle $16000$ dirhams ? (On donne $\ln 2\approx 0,693$.)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(I)$ : $e^{2x}-4e^x+3\le 0$.

Indication : poser $X=e^x$.

Calculer les limites suivantes :

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x-x^2\right)$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2e^x+3}{e^x-1}$

Calculer les limites suivantes :

1) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}$ ;

2) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-e^x\right)$ ;

3) $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$.

Le revenu marginal d'une entreprise est modelise par $R(x)=\frac{x^2+1}{e^x}$ pour $x\ge 0$, ou $x$ est le niveau d'activite.

1. Determiner $\underset{x\to +\infty }{\lim }R(x)$.
2. Interpreter economiquement ce resultat.

Le profit (en milliers de dirhams) est modelise sur $[0;+\infty [$ par :

$$f(x)=(x-1)e^{x-1}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et etudier les variations de $f$.
2. Determiner $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
3. Dresser le tableau de variations et preciser le minimum.

On considère l'équation $(E)$ : $e^{2x}-5e^x+6=0$.

1) En posant $X=e^x$, montrer que $(E)$ devient une équation du second degré en $X$.

2) Résoudre cette équation en $X$, puis en déduire les solutions de $(E)$.

Calculer les limites suivantes :

1) $\underset{x\to +\infty }{\lim }(e^x-3x)$.

2) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2+1}$.

3) $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$.

Calculer les limites suivantes.

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-e^x\right)$
3. $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$

Un capital place est modelise par la fonction $V(t)=5000e^{0,04t}$, ou $t$ est le nombre d'annees ecoulees ($t⩾0$) et $V(t)$ la valeur en dirhams.

1) Quelle est la valeur initiale du placement ?

2) Calculer $V(10)$ (arrondir au dirham). On donne $e^{0,4}\approx 1,4918$.

3) Determiner le sens de variation de $V$ et l'interpreter.

4) Au bout de combien d'annees la valeur depasse-t-elle $8000$ DH ? On donne $\ln (1,6)\approx 0,4700$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(x^2-4)e^x=0$.

On considere $f(x)=100x{e}^{-x}$ modelisant un flux de tresorerie (en milliers de dirhams) au temps $x\ge 0$ (en annees).

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$.

Soit $f$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$, de courbe $(\mathcal{C})$.

1) Calculer $f^{\prime }(x)$.

2) Determiner une equation de la tangente $(T)$ a $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_0=0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$.

1) Calculer $f^{\prime }(x)$.

2) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

3) Préciser la valeur du minimum de $f$.

On considere l'equation $(E):e^{2x}-5e^x+6=0$.

1) En posant $X=e^x$, montrer que $(E)$ equivaut a une equation du second degre en $X$.

2) Resoudre cette equation en $X$.

3) En deduire les solutions de $(E)$ dans $\mathbb{R}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x}-3e^x+2\le 0$.

La part de marche (en %) d'un produit est modelisee par :

$$g(x)=\frac{80}{1+e^{-x}},x\ge 0,$$

ou $x$ est le temps (en annees).

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et determiner le sens de variation de $g$.
2. Determiner $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ et interpreter (asymptote).
3. Calculer $g(0)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^x$, de courbe $(\mathcal{C})$.

a) Calculer $f^{\prime }(x)$.

b) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_0=0$.

Calculer les limites suivantes :

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-1)e^x$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$. On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_0=0$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2-x)e^x$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

On considère l'équation $(E)$ : $e^{2x}-5e^x+6=0$.

a) En posant $X=e^x$, montrer que $(E)$ devient une équation du second degré en $X$.

b) Résoudre cette équation en $X$.

c) En déduire les solutions de $(E)$ dans $\mathbb{R}$.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=e^{-x^2+x}$.

1) Calculer $h^{\prime }(x)$.

2) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$.