Fonctions exponentielles — Résumé de cours

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Contenu du cours

📊 En Sciences Économiques : l'exponentielle modélise la croissance ou la dépréciation d'une valeur : capitalisation, actualisation, évolution d'un marché.

I. La fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle, notée $exp$ ou $e^{x}$ , est la fonction réciproque du logarithme népérien.

$exp : R \to] 0, + \infty [$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (la dérivée est elle-même !)
$e^{0} = 1$ , $e^{1} = e$
$exp$ strictement croissante, toujours positive

Relation fondamentale

$e^{l n x} = x$ (si $x > 0$ )
$ln (e^{x}) = x$ (pour tout $x$ )
$e^{x} = y \Leftrightarrow x = ln y$ (avec $y > 0$ )

II. Propriétés algébriques

Pour $a, b \in R$ , $n \in Z$ :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$

III. Limites importantes

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ (croissance comparée — l'exp gagne)
$x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0$ (croissance comparée)

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

$(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

Équations

$e^{x} = a$ : si $a > 0$ , $x = ln a$ ; sinon pas de solution
$e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y$
Substitution $X = e^{x}$ pour ramener à une équation polynomiale

V. Fonction $a^{x}$ (puissance générale)

Pour $a > 0$ : $a^{x} = e^{x l n a}$ .

Dérivée : $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ .

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $f (x) = (x - 1) e^{- x}$ sur $R$ .
1) Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
2) Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations.

Solution :

1) En $+ \infty$ : $f (x) = \frac{x - 1}{e ^{x}}$ . Par croissance comparée, $lim = 0$ .
En $- \infty$ : $x - 1 \to - \infty$ et $e^{- x} \to + \infty$ , donc $f (x) \to - \infty$ .

2) $f^{'} (x) = e^{- x} + (x - 1) (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - (x - 1)) = (2 - x) e^{- x}$ .
$e^{- x} > 0$ , donc $f^{'}$ a le signe de $2 - x$ .
$f$ croissante sur $] - \infty, 2]$ , décroissante sur $[2, + \infty [$ .
Maximum en $x = 2$ : $f (2) = e^{- 2} \approx 0, 135$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Écrire $e^{a + b} = e^{a} + e^{b}$ . FAUX (c'est $e^{a} \times e^{b}$ ).
$(e^{u})^{'} = e^{u}$ . FAUX, il faut $u^{'} \cdot e^{u}$ .
Croire que $e^{x} = - 2$ a une solution. FAUX, $e^{x} > 0$ toujours.
Mal appliquer les croissances comparées (ordre $ln ≪ x^{n} ≪ e^{x}$ ).
Pour $a^{x}$ , dériver comme $x a^{x - 1}$ . FAUX, il faut passer par $e^{x l n a}$ .

📈 Figure clé

Croissance exponentielle

e^{x}

🔑 Formules clés à retenir

Définition : $exp = ln^{- 1}$

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $e^{0} = 1$ , $e^{x} > 0$

Propriétés :

$e^{a + b} = e^{a} \cdot e^{b}$
$e^{a - b} = e^{a} / e^{b}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$

Limites :

$x \to - \infty lim e^{x} = 0$
$x \to + \infty lim e^{x} / x^{n} = + \infty$

Dérivée : $(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$

Équation : $e^{x} = a$ (a > 0) $\Leftrightarrow x = ln a$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 $exp$ transforme une SOMME en PRODUIT. Inverse du $ln$ .
🎯 Pour résoudre $e^{2 x} + a \cdot e^{x} + b = 0$ : pose $X = e^{x}$ et résous l'équation polynomiale en $X$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions exponentielles

Type 1 : Simplifier une expression avec $e^{x}$

Quand ? L'énoncé contient des produits, quotients ou puissances d'exponentielles à réduire.

Rappelle les règles : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ , $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ et $e^{0} = 1$ .
Regroupe d'abord les exponentielles entre elles, puis additionne ou soustrais les exposants.
N'oublie pas $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ pour basculer un facteur du numérateur au dénominateur.
Donne le résultat sous la forme $e^{(exposant simplifi \overset{e}{ˊ})}$ .

Exemple éclair : $\frac{e ^{3 x} \times e ^{- x}}{e ^{x}} = e^{3 x - x - x} = e^{x}$ .

Type 2 : Résoudre une équation avec exponentielle

Quand ? On demande de résoudre $e^{u (x)} = k$ ou $e^{u (x)} = e^{v (x)}$ .

Si l'équation est de la forme $e^{u (x)} = e^{v (x)}$ , utilise la stricte croissance : $u (x) = v (x)$ .
Si l'équation est $e^{u (x)} = k$ avec $k > 0$ , applique $ln$ : $u (x) = ln k$ .
Si $k \leq 0$ , conclus tout de suite : pas de solution car $e^{u (x)} > 0$ .
Résous l'équation obtenue puis écris l'ensemble des solutions $S$ .

Exemple éclair : $e^{2 x} = e^{x + 1} ⟺ 2 x = x + 1 ⟺ x = 1$ , donc $S = {1}$ .

Type 3 : Résoudre une inéquation avec exponentielle

Quand ? On demande de résoudre $e^{u (x)} < k$ , $e^{u (x)} > k$ ou une comparaison entre deux exponentielles.

La fonction $e^{x}$ est strictement croissante : l'inégalité entre exponentielles équivaut à la même inégalité entre exposants (sens conservé).
Pour $e^{u (x)} < k$ avec $k > 0$ : passe au $ln$ , $u (x) < ln k$ .
Si $k \leq 0$ : $e^{u (x)} > k$ est toujours vrai et $e^{u (x)} < k$ n'a aucune solution.
Résous l'inéquation finale et donne $S$ sous forme d'intervalle.

Exemple éclair : $e^{x - 1} > 1 = e^{0} ⟺ x - 1 > 0 ⟺ x > 1$ , donc $S =] 1; + \infty [$ .

Type 4 : Dériver une fonction contenant $e^{u (x)}$

Quand ? On demande la dérivée d'une fonction du type $e^{u (x)}$ , d'un produit ou d'un quotient avec exponentielle.

Formule clé : $(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}$ .
Pour un produit $f (x) = u (x) e^{x}$ , applique $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Pour un quotient, applique $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Factorise par $e^{u (x)}$ (toujours positif) pour préparer l'étude du signe de $f^{'}$ .

Exemple éclair : $f (x) = e^{- 2 x + 1}$ donne $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x + 1}$ .

Type 5 : Calculer une limite avec exponentielle

Quand ? On étudie le comportement aux bornes ou une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ .

Limites de référence : $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ .
Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ et $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ .
En cas d'indétermination, factorise par le terme dominant ou reconnais une croissance comparée.
Conclus en précisant une éventuelle asymptote (horizontale si la limite est finie).

Exemple éclair : $x \to - \infty lim (x + e^{x}) = - \infty$ car $e^{x} \to 0$ et $x \to - \infty$ .

Type 6 : Étude complète et tableau de variations

Quand ? On demande d'étudier une fonction $f$ contenant une exponentielle (variations, extremums, courbe).

Détermine l'ensemble de définition (souvent $R$ ) et les limites aux bornes.
Calcule $f^{'} (x)$ et factorise par $e^{u (x)} > 0$ : le signe de $f^{'}$ ne dépend que du reste.
Dresse le tableau de variations en plaçant limites, extremums et flèches.
Précise les asymptotes et, si demandé, le signe de $f$ ou la position par rapport à une asymptote.

Exemple éclair : Pour $f (x) = (x - 1) e^{x}$ , $f^{'} (x) = x e^{x}$ , du signe de $x$ : $f$ décroit sur $] - \infty; 0 [$ puis croit, minimum en $x = 0$ .

Type 7 : Modéliser une évolution (croissance / décroissance)

Quand ? Problème économique : coût, population, capital ou demande modélisés par $f (t) = A e^{k t}$ .

Identifie $A$ (valeur initiale en $t = 0$ car $f (0) = A$ ) et le taux $k$ .
Si $k > 0$ : croissance ; si $k < 0$ : décroissance (déclin) vers $0$ .
Pour trouver $k$ , utilise une valeur connue et résous avec $ln$ .
Pour prévoir une date seuil, résous l'équation $f (t) =$ seuil en appliquant $ln$ .

Exemple éclair : Si $f (t) = 1000 e^{0, 05 t}$ , le seuil $2000$ est atteint quand $e^{0, 05 t} = 2$ , soit $t = \frac{ln 2}{0 , 05} \approx 13, 9$ .

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

23 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 23 corrigés

Exercices Faciles

11 exercices

Croissance d'une population

Facile

Énoncé

La population d'une ville nouvelle est modélisée par la fonction $P (t) = 15 e^{0, 04 t}$ , où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis 2020 et $P (t)$ est exprimée en milliers d'habitants.

Calculer la population en 2020.
Calculer la population prévue en 2025 (arrondir au millier).
Montrer que la fonction $P$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépassera $30$ mille habitants.

Ma réponse

Fonctions exponentielles

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I. La fonction exponentielle

Définition

Relation fondamentale

II. Propriétés algébriques

III. Limites importantes

IV. Dérivée et équations

Dérivée composée

Équations

V. Fonction ax (puissance générale)

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Fonctions exponentielles

Type 1 : Simplifier une expression avec ex

Type 2 : Résoudre une équation avec exponentielle

Type 3 : Résoudre une inéquation avec exponentielle

Type 4 : Dériver une fonction contenant eu(x)

Type 5 : Calculer une limite avec exponentielle

Type 6 : Étude complète et tableau de variations

Type 7 : Modéliser une évolution (croissance / décroissance)

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Croissance d'une population

Dépréciation d'une machine

Équation exponentielle

Tangente à l'exponentielle

Équation exponentielle simple

Simplification

Inéquation exponentielle

Simplification d'exponentielle

Équation exponentielle

Équation $e^x = a$

Simplification exponentielle

Exercices Intermédiaires

Actualisation d'un capital

Modèle de demande

Placement à intérêts composés continus

Substitution X = e^x

Croissance exponentielle (population)

Croissance comparée

Étude de $f(x) = (x-1) e^x$

Étude de $x e^x$

Étude $f(x) = e^x - x$

Limite et primitive

Dérivée d'exponentielle composée

Étude variations exponentielle

Exercices supplémentaires

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Quiz — Fonctions exponentielles

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V. Fonction $a^{x}$ (puissance générale)

Type 1 : Simplifier une expression avec $e^{x}$

Type 4 : Dériver une fonction contenant $e^{u (x)}$