Calcul intégral — Résumé de cours

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📊 En Sciences Économiques : l'intégrale calcule un surplus, une valeur cumulée (coût total à partir du coût marginal) ou une valeur moyenne économique.

I. Primitives

Définition

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x \in I$ .

Deux primitives diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont 2 primitives de $f$ , alors $G (x) = F (x) + C$ pour une constante $C$ .

II. Primitives usuelles (à connaître par cœur)

$f (x)$	$F (x)$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{a x + b}$	$\frac{1}{a} e^{a x + b} + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$

Reconnaître $u^{'} \cdot u^{n}$

$\int u^{'} u^{n} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ( $n \neq = - 1$ )
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$
$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 u + C$

III. Intégrale définie

Définition

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ . L'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est :

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

IV. Propriétés

Linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$
Chasles : $a \int b f = a \int c f + c \int b f$
Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $a \int b f \geq 0$
Croissance : si $f \leq g$ , alors $a \int b f \leq a \int b g$
Inversion bornes : $a \int b f = - b \int a f$

V. Intégration par parties (IPP)

Formule

$a \int b u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) v^{'} (x) d x$

Quand utiliser l'IPP ?

Pour intégrer un produit de 2 fonctions. Choix de $u$ (règle LIATE) : Logarithme, Inverse trig, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle (dans cet ordre de préférence pour le facteur dérivé).

Exemple : $0 \int 1 x e^{x} d x$ .
Pose $u = x$ ( $u^{'} = 1$ ), $v^{'} = e^{x}$ ( $v = e^{x}$ ).
$= [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

VI. Calcul d'aires

Aire entre $C_{f}$ et l'axe des abscisses, entre $a$ et $b$ :

$A = a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ : $A = a \int b f (x) d x$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Calculer $I = 1 \int e \frac{ln x}{x} d x$ .

Solution : On reconnaît $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u (x) = ln x$ ? Non, ici c'est $u^{'} \cdot u$ avec $u (x) = ln x$ et $u^{'} (x) = 1/ x$ .
Donc primitive : $\frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2}$ .
$I = [\frac{( ln x ) ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{( ln e ) ^{2}}{2} - \frac{( ln 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

VIII. Top 6 pièges à éviter

Oublier $+ C$ dans une primitive (sans bornes).
Inverser les bornes sans changer le signe.
Oublier $∣ \cdot ∣$ dans $ln ∣ x ∣$ .
Confondre $\int u^{'} v$ et $\int u v^{'}$ dans l'IPP.
Calculer une aire sans valeur absolue quand $f$ change de signe.
Oublier le coefficient $1/ a$ dans la primitive de $e^{a x + b}$ .

📈 Figure clé

Aire sous la courbe

🔑 Formules clés à retenir

Primitives usuelles :

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Formes composées :

$\int u^{'} / u d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$

Intégrale : $a \int b f = F (b) - F (a)$

IPP : $\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$

Aire : $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour les IPP, choisir $u$ via LIATE (Log, Inverse-trig, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle).
🎯 Avant de chercher une primitive complexe, regarder si l'expression est de la forme $u^{'} \cdot g (u)$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Calcul intégral

Type 1 : Déterminer une primitive

Quand ? On demande « une primitive de $f$ » ou de vérifier qu'une fonction $F$ est primitive de $f$ .

Mémorise les primitives usuelles : pour $x^{n}$ c'est $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ , pour $\frac{1}{x}$ c'est $ln ∣ x ∣$ , pour $e^{x}$ c'est $e^{x}$ .
Pour $e^{a x + b}$ , la primitive est $\frac{1}{a} e^{a x + b}$ ; pour $\frac{u ^{'}}{u}$ c'est $ln ∣ u ∣$ .
Si on doit vérifier que $F$ est primitive de $f$ , dérive $F$ et montre que $F^{'} = f$ .
Ajoute la constante $+ C$ quand on parle de « l'ensemble des primitives ».

Exemple éclair : Une primitive de $f (x) = e^{2 x}$ est $F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

Type 2 : Calculer une intégrale par primitive directe

Quand ? On demande $a \int b f (x) d x$ et une primitive est accessible directement.

Détermine une primitive $F$ de $f$ .
Applique le théorème fondamental : $a \int b f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
Remplace soigneusement $x$ par $b$ puis par $a$ et soustrais (attention aux signes).
Simplifie le résultat numérique ou en fonction de $e$ et $ln$ .

Exemple éclair : $0 \int 1 e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .

Type 3 : Intégration par parties

Quand ? L'intégrale est un produit, typiquement $x e^{x}$ ou $ln x$ , sans primitive directe.

Choisis $u$ (que tu vas dériver) et $d v$ (que tu vas intégrer). Règle pratique : prends $u = x$ ou $u = ln x$ car leur dérivée se simplifie.
Calcule $d u = u^{'} d x$ et une primitive $v$ de $d v$ .
Applique $a \int b u d v = [u v]_{a}^{b} - a \int b v d u$ .
Calcule l'intégrale restante (souvent directe) et conclus.

Exemple éclair : $0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

Type 4 : Calculer une aire sous une courbe

Quand ? On demande l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ .

Étudie le signe de $f$ sur $[a; b]$ .
Si $f \geq 0$ sur tout l'intervalle : aire $= a \int b f (x) d x$ (en unités d'aire).
Si $f \leq 0$ : aire $= - a \int b f (x) d x$ , ou $a \int b ∣ f (x) ∣ d x$ en découpant aux changements de signe.
Multiplie par l'unité d'aire si le repère le précise, puis donne la valeur positive.

Exemple éclair : Pour $f (x) = x$ sur $[0; 2]$ , aire $= 0 \int 2 x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = 2$ u.a.

Type 5 : Aire entre deux courbes

Quand ? On veut l'aire entre $C_{f}$ et $C_{g}$ sur $[a; b]$ .

Détermine quelle courbe est au-dessus en comparant $f$ et $g$ (ou en étudiant le signe de $f - g$ ).
Suppose $f \geq g$ : aire $= a \int b (f (x) - g (x)) d x$ .
Calcule l'intégrale de la différence à l'aide d'une primitive.
Le résultat doit être positif ; sinon revérifie qui est au-dessus.

Exemple éclair : Entre $f (x) = 2 x$ et $g (x) = x$ sur $[0; 1]$ : aire $= 0 \int 1 x d x = \frac{1}{2}$ u.a.

Type 6 : Valeur moyenne d'une fonction

Quand ? On demande la valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ (souvent un coût ou un prix moyen).

Applique la formule : $m = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
Calcule d'abord l'intégrale avec une primitive.
Divise le résultat par la longueur $b - a$ de l'intervalle.
Interprète $m$ dans le contexte économique (valeur moyenne sur la période).

Exemple éclair : Valeur moyenne de $f (x) = x$ sur $[0; 4]$ : $m = \frac{1}{4} 0 \int 4 x d x = \frac{1}{4} \times 8 = 2$ .

Type 7 : Surplus du consommateur et du producteur

Quand ? Problème éco avec fonctions de demande $D (q)$ et d'offre $O (q)$ , prix d'équilibre $p^{*}$ pour la quantité $q^{*}$ .

Détermine le point d'équilibre $(q^{*}, p^{*})$ en résolvant $D (q) = O (q)$ .
Surplus du consommateur : $S_{C} = 0 \int q^{*} D (q) d q - p^{*} q^{*}$ .
Surplus du producteur : $S_{P} = p^{*} q^{*} - 0 \int q^{*} O (q) d q$ .
Calcule chaque intégrale par primitive, puis interprète (gain des consommateurs / producteurs).

Exemple éclair : Si $D (q) = 10 - q$ , $p^{*} = 4$ et $q^{*} = 6$ : $S_{C} = 0 \int 6 (10 - q) d q - 4 \times 6 = 42 - 24 = 18$ .

Calcul intégral — Fiche d'exercices

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Calcul d'intégrale simple

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Énoncé

Calculer

I = 0 \int 1 (3 x^{2} + 2 x - 1) d x

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Formule

Quand utiliser l'IPP ?

VI. Calcul d'aires

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Type 1 : Déterminer une primitive

Type 2 : Calculer une intégrale par primitive directe

Type 3 : Intégration par parties

Type 4 : Calculer une aire sous une courbe

Type 5 : Aire entre deux courbes

Type 6 : Valeur moyenne d'une fonction

Type 7 : Surplus du consommateur et du producteur

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Calcul d'intégrale simple

Intégrale d'un sinus

Primitive trigonométrique

Primitive simple

Calcul direct

Primitive avec $\ln$

Primitive d'exponentielle

Primitive d'une fraction

Primitive polynomiale

Exercices Intermédiaires

Aire entre deux courbes

Aire d'une région

Intégration par parties avec exp

IPP avec $x \sin x$

Intégration par parties

Aire entre 2 courbes

IPP avec $\ln$

Linéarité de l'intégrale

Intégration par parties (IPP)

Exercices supplémentaires

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