Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Produit scalaire dans l'espace

Définition

Pour $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = ∥ u ∥∥ v ∥ cos (u, v)$

Orthogonalité

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

II. Équations de plans

Équation cartésienne

Plan $P$ passant par $A$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ :

$a x + b y + cz + d = 0$

avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

Plan par 3 points $A, B, C$ non alignés

1) Calculer $A B$ et $A C$ .
2) Trouver $n$ orthogonal à $A B$ et $A C$ (système).
3) Écrire l'équation $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ .

III. Équations de droites (paramétriques)

Droite $D$ par $A$ et $u (a, b, c)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R$

IV. Distances

Point - Plan

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Point - Droite

Plus complexe (passe par produit vectoriel ou projection orthogonale).

V. Sphères

Définition

Sphère de centre $Ω (a, b, c)$ et rayon $R$ :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

Intersection sphère - plan

Soit $d$ = distance du centre $Ω$ au plan.

$d > R$ : pas d'intersection
$d = R$ : tangent (1 point)
$d < R$ : cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2}$

VI. Positions relatives droite - plan

$u$ vecteur directeur de $D$ , $n$ vecteur normal de $P$ .

$u \cdot n = 0$ : $D$ parallèle ou incluse dans $P$
$u \cdot n \neq = 0$ : $D$ et $P$ sécants en 1 point
$u$ et $n$ colinéaires : $D ⊥ P$

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $Ω (1, 0, 2)$ et la sphère $S$ de centre $Ω$ et rayon 3. Le plan $P : x + 2 y + 2 z - 5 = 0$ coupe-t-il $S$ ?

Solution : $d (Ω, P) = \frac{∣1 + 0 + 4 - 5∣}{1 + 4 + 4} = \frac{0}{3} = 0$ .
Donc le plan passe par le centre $Ω$ . L'intersection est un cercle de centre $Ω$ et rayon $R = 3$ (grand cercle).

VIII. Top 5 pièges à éviter

Confondre vecteur directeur et vecteur normal.
Oublier le $d$ dans l'équation cartésienne du plan.
Oublier la valeur absolue dans la distance point-plan.
Confondre sphère et boule (sphère = surface, boule = volume).
Croire que 2 droites non parallèles sont sécantes (peuvent être non coplanaires).

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

Produit scalaire :

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$

Plan : $a x + b y + cz + d = 0$

$(a, b, c)$ = vecteur normal

Distance point-plan :

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Sphère :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Plan par 3 points : système d'équations pour trouver $n$ . C'est la méthode standard.
🎯 Pour intersection sphère/plan : calculer $d (Ω, P)$ et comparer à $R$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Produit scalaire dans l'espace

Quand ? On veut un angle, une longueur, ou prouver une orthogonalité entre vecteurs.

Avec les coordonnées $u (x, y, z)$ et $v (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
Norme : $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
Orthogonalité : $u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .
Angle : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

Exemple éclair : $u (1, 2, - 1)$ et $v (2, - 1, 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ , donc $u ⊥ v$ .

Type 2 : Produit vectoriel et vecteur normal

Quand ? On cherche un vecteur orthogonal à deux vecteurs (normal à un plan) ou l'aire d'un triangle/parallélogramme.

Calcule $u \land v$ avec $u \land v = (y z^{'} - z y^{'}, z x^{'} - x z^{'}, x y^{'} - y x^{'})$ .
Ce vecteur est orthogonal à $u$ et à $v$ : il sert de vecteur normal au plan $(u, v)$ .
Aire du triangle : $A = \frac{1}{2} ∥ u \land v ∥$ .
Colinéarité : $u$ et $v$ colinéaires $\Leftrightarrow u \land v = 0$ .

Exemple éclair : $u (1, 0, 0) \land v (0, 1, 0) = (0, 0, 1) = k$ , vecteur normal au plan $(x O y)$ .

Type 3 : Équation cartésienne d'un plan

Quand ? On détermine l'équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal, ou par trois points.

Trouve un vecteur normal $n (a, b, c)$ (donné ou via produit vectoriel de deux vecteurs du plan).
L'équation est $a x + b y + cz + d = 0$ .
Détermine $d$ en injectant les coordonnées d'un point connu du plan.
Vérifie avec un autre point du plan.

Exemple éclair : Plan de normal $n (2, - 1, 3)$ passant par $A (1, 0, 1)$ : $2 x - y + 3 z + d = 0$ avec $2 + 0 + 3 + d = 0$ , donc $d = - 5$ et $2 x - y + 3 z - 5 = 0$ .

Type 4 : Représentation paramétrique d'une droite

Quand ? On décrit une droite par un point $A$ et un vecteur directeur $u$ , ou intersection de deux plans.

Identifie le point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et le vecteur directeur $u (α, β, γ)$ .
Écris le système paramétrique : $x = x_{0} + t α$ , $y = y_{0} + tβ$ , $z = z_{0} + t γ$ avec $t \in R$ .
Pour une intersection de deux plans : résous le système, le vecteur directeur est $n_{1} \land n_{2}$ .
Pour tester un point : cherche s'il existe $t$ vérifiant les trois équations.

Exemple éclair : Droite par $A (1, 2, 0)$ de direction $u (1, - 1, 2)$ : $x = 1 + t$ , $y = 2 - t$ , $z = 2 t$ .

Type 5 : Équation d'une sphère et position relative

Quand ? On étudie une sphère de centre $Ω$ et rayon $R$ , ou son intersection avec un plan.

Équation : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ avec $Ω (a, b, c)$ .
Forme développée $x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0$ : complète les carrés pour retrouver centre et rayon.
Intersection avec un plan : compare $d (Ω, P)$ à $R$ : si $< R$ cercle, si $= R$ point (tangent), si $> R$ vide.
Le rayon du cercle d'intersection est $r = R^{2} - d^{2}$ .

Exemple éclair : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 = 0$ donne $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ : centre $Ω (1, 0, 0)$ , rayon $R = 5$ .

Type 6 : Distance d'un point à un plan

Quand ? On veut la distance d'un point $A$ au plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ , ou vérifier une tangence.

Applique $d (A, P) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Substitue les coordonnées de $A$ au numérateur (valeur absolue).
Pour une tangence sphère/plan : compare $d (Ω, P)$ avec le rayon $R$ .
Pour le projeté orthogonal : utilise la droite passant par $A$ de direction $n$ .

Exemple éclair : Distance de $A (1, 1, 1)$ au plan $2 x + y - 2 z + 3 = 0$ : $\frac{∣2 + 1 - 2 + 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{4}{3}$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

70 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 70 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Appartenance d'un point à un plan

Facile

Énoncé

On considère le plan $(P) : x + y + z - 3 = 0$ . Parmi les points $M (1; 0; 3)$ et $N (2; - 2; 3)$ , déterminer celui qui appartient à $(P)$ .

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Produit scalaire dans l'espace

Définition

Orthogonalité

II. Équations de plans

Équation cartésienne

Plan par 3 points A,B,C non alignés

III. Équations de droites (paramétriques)

IV. Distances

Point - Plan

Point - Droite

V. Sphères

Définition

Intersection sphère - plan

VI. Positions relatives droite - plan

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Produit scalaire dans l'espace

Type 2 : Produit vectoriel et vecteur normal

Type 3 : Équation cartésienne d'un plan

Type 4 : Représentation paramétrique d'une droite

Type 5 : Équation d'une sphère et position relative

Type 6 : Distance d'un point à un plan

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Appartenance d'un point à un plan

Centre et rayon d'une sphère

Distance d'un point à un plan

Distance entre deux points

Équation cartésienne (point + normal)

Équation d'une sphère (centre et rayon donnés)

Équation cartésienne d'un plan

Symétrique par rapport à un plan

Équation cartésienne d'un plan

Norme d'un vecteur 3D

Test d'orthogonalité

Produit vectoriel

Angle entre 2 plans

Distance entre 2 points 3D

Produit scalaire et orthogonalité

Équation d'une sphère

Lecture d'un vecteur directeur

Norme d'un vecteur

Plan de normal (1;1;1)

Plan de normal (2;-2;1)

Point appartenant à une sphère

Produit scalaire par coordonnées

Représentation paramétrique d'une droite

Valeur d'un paramètre pour l'orthogonalité

Vecteurs orthogonaux

Exercices Intermédiaires

Angle entre deux vecteurs

Distance avec composante négative

Distance d'un point quelconque

Équation à partir des données, point sur (P)

Équation puis appartenance et distance

Équation puis distance

Position relative de 2 droites

Intersection droite-plan

Centre et rayon d'une sphère développée

Centre et rayon d'une sphère

Distance point-plan

Équation de plan

Position relative 2 plans

Équation d'un plan par 3 points

Intersection droite-plan

Position relative droite-plan

Distance d'un point à un plan

Équation cartésienne d'un plan

Identité de polarisation

Normal avec une coordonnée nulle

Plan par 3 points $A, B, C$ non alignés