Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Définition et formes

Définition

L'ensemble des nombres complexes $C$ contient un élément $i$ tel que $i^{2} = - 1$ . Tout nombre complexe $z$ s'écrit :

$z = a + ib, a, b \in R$

$a = Re (z)$ : partie réelle
$b = Im (z)$ : partie imaginaire

Conjugué

$\overset{z}{ˉ} = a - ib$ . Propriétés :

$\overline{z + z^{'}} = \overset{z}{ˉ} + \overset{ˉ}{z^{'}}$
$\overline{z z^{'}} = \overset{z}{ˉ} \cdot \overset{ˉ}{z^{'}}$
$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re (z)$
$z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$

II. Module et argument

Module

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ . Propriétés :

$∣ z ∣ \geq 0$ , $∣ z ∣ = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣∣ z^{'} ∣$
$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$
$∣ z + z^{'} ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z^{'} ∣$ (inégalité triangulaire)

Argument

Si $z \neq = 0$ , on note $ar g (z) = θ$ tel que $z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)$ .

III. Forme trigonométrique et exponentielle

$z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ avec $r = ∣ z ∣$ et $θ = ar g (z)$ .

Calculs en forme exponentielle

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (formule de Moivre)

IV. Équations du second degré

Pour $a z^{2} + b z + c = 0$ avec $a, b, c$ réels :

Discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$
Si $Δ > 0$ : 2 solutions réelles $z = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
Si $Δ = 0$ : 1 solution double $z = - \frac{b}{2 a}$
Si $Δ < 0$ : 2 solutions complexes conjuguées $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

V. Représentation géométrique

$z = a + ib$ correspond au point $M (a, b)$ dans le plan complexe.

$∣ z ∣ = O M$ (distance à l'origine)
$ar g (z) = (i, O M)$
$∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B$
$ar g (z_{B} - z_{A}) = (i, A B)$

VI. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Soit $z = 1 + i 3$ .
1) Calculer $∣ z ∣$ et $ar g (z)$ .
2) Écrire $z$ sous forme exponentielle.
3) En déduire $z^{6}$ .

Solution :

1) $∣ z ∣ = 1 + 3 = 2$ .
$cos θ = \frac{1}{2}$ , $sin θ = \frac{3}{2}$ → $θ = \frac{π}{3}$ .

2) $z = 2 e^{iπ /3}$ .

3) $z^{6} = 2^{6} e^{i 6 π /3} = 64 e^{i 2 π} = 64 \cdot 1 = 64$ .

VII. Top 5 pièges à éviter

Confondre $∣ z ∣$ et $∣ z ∣^{2}$ .
Oublier la racine carrée dans le module.
$ar g (z)$ modulo $2 π$ . Plusieurs valeurs équivalentes.
Pour $Δ < 0$ , écrire $Δ$ . Il faut $i - Δ$ .
Confondre $\overset{z}{ˉ}$ (conjugué) et $- z$ (opposé).

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

dans le plan complexe

🔑 Formules clés à retenir

Formes :

Algébrique : $z = a + ib$
Trigo : $z = r (cos θ + i sin θ)$
Exponentielle : $z = r e^{i θ}$

Module : $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

Conjugué : $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ , $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$

Calculs en exp :

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (Moivre)

Équation $a z^{2} + b z + c = 0$ ( $Δ < 0$ ) :

$z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Pour les puissances $z^{n}$ : passer en forme exponentielle, multiplier l'argument par $n$ .
🎯 Pour vérifier l'argument : sin et cos doivent être cohérents (mêmes signes que les composantes du nombre).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Nombres complexes

Type 1 : Passer entre forme algébrique, trigonométrique et exponentielle

Quand ? On donne $z = a + ib$ et on veut $z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}$ , ou l'inverse.

Calcule le module $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
Trouve un argument $θ$ tel que $cos θ = \frac{a}{r}$ et $sin θ = \frac{b}{r}$ .
Écris $z = r e^{i θ}$ (forme exponentielle) ou $z = r (cos θ + i sin θ)$ .
Pour revenir à l'algébrique : $a = r cos θ$ , $b = r sin θ$ .

Exemple éclair : $z = 1 + i$ : $r = 2$ , $θ = \frac{π}{4}$ , donc $z = 2 e^{iπ /4}$ .

Type 2 : Calculer module et argument d'un produit ou quotient

Quand ? On veut $∣ z_{1} z_{2} ∣$ , $ar g (z_{1} z_{2})$ , ou simplifier $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ , ou calculer $z^{n}$ .

Mets $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle $r_{1} e^{i θ_{1}}$ , $r_{2} e^{i θ_{2}}$ .
Produit : $∣ z_{1} z_{2} ∣ = r_{1} r_{2}$ et $ar g (z_{1} z_{2}) = θ_{1} + θ_{2} [2 π]$ .
Quotient : $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$ et $ar g = θ_{1} - θ_{2} [2 π]$ .
Puissance (Moivre) : $z^{n} = r^{n} e^{in θ}$ .

Exemple éclair : $z = 2 e^{iπ /4}$ donne $z^{4} = (2)^{4} e^{iπ} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ .

Type 3 : Résoudre une équation du second degré dans $C$

Quand ? On a $a z^{2} + b z + c = 0$ à coefficients réels avec discriminant négatif.

Calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ < 0$ : les racines sont $z = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ , complexes conjuguées.
Si $Δ \geq 0$ : racines réelles habituelles.
Vérifie avec la somme $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ et le produit $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$ .

Exemple éclair : $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ : $Δ = 4 - 20 = - 16$ , donc $z = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ .

Type 4 : Utiliser la formule de Moivre et les formules d'Euler

Quand ? On veut linéariser $cos^{n} θ$ , ou exprimer $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ .

Euler : $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ et $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ .
Moivre : $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ .
Pour linéariser : remplace par Euler, développe, puis regroupe les exponentielles conjuguées.
Pour $cos (n θ)$ : développe Moivre avec le binôme et identifie partie réelle.

Exemple éclair : $cos^{2} θ = (\frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2})^{2} = \frac{1}{4} (e^{2 i θ} + 2 + e^{- 2 i θ}) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}$ .

Type 5 : Interprétation géométrique (affixes, distances, angles)

Quand ? On travaille avec des points $A$ , $B$ , $C$ d'affixes $z_{A}$ , $z_{B}$ , $z_{C}$ et on veut distances, alignement, nature d'un triangle.

Distance : $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .
Angle : $(C A, C B) = ar g (\frac{z _{B} - z _{C}}{z _{A} - z _{C}}) [2 π]$ .
Alignement : $A$ , $B$ , $C$ alignés $\Leftrightarrow \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ .
Orthogonalité : ce quotient est imaginaire pur. Triangle équilatéral / rectangle : compare modules et arguments.

Exemple éclair : Si $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i$ alors $A C = A B$ et l'angle en $A$ vaut $\frac{π}{2}$ : triangle rectangle isocèle en $A$ .

Type 6 : Transformations du plan (translation, rotation, homothétie)

Quand ? On donne une écriture complexe $z^{'} = a z + b$ et on veut reconnaître la transformation associée.

Si $a = 1$ : translation de vecteur d'affixe $b$ .
Si $a \in R^{*}$ , $a \neq = 1$ : homothétie de rapport $a$ ; centre $Ω$ d'affixe $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
Si $∣ a ∣ = 1$ , $a \neq = 1$ : rotation d'angle $ar g (a)$ ; centre $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
Cas général $∣ a ∣ \neq = 1$ et $a \in / R$ : similitude (rapport $∣ a ∣$ , angle $ar g a$ ).

Exemple éclair : $z^{'} = i z + 2$ : $∣ i ∣ = 1$ donc rotation d'angle $\frac{π}{2}$ , centre $ω = \frac{2}{1 - i} = 1 + i$ .

Nombres complexes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

26 exercices

Affixe d'un point et d'un vecteur

Facile

Énoncé

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_{A} = 2 - 3 i$ et $z_{B} = - 1 + i$ .

1) Donner l'affixe du vecteur $A B$ .
2) En déduire la distance $A B$ .

Ma réponse

Nombres complexes

Nombres complexes — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Définition et formes

Définition

Conjugué

II. Module et argument

Module

Argument

III. Forme trigonométrique et exponentielle

Calculs en forme exponentielle

IV. Équations du second degré

V. Représentation géométrique

VI. Méthode BAC type 2024

VII. Top 5 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Nombres complexes

Type 1 : Passer entre forme algébrique, trigonométrique et exponentielle

Type 2 : Calculer module et argument d'un produit ou quotient

Type 3 : Résoudre une équation du second degré dans C

Type 4 : Utiliser la formule de Moivre et les formules d'Euler

Type 5 : Interprétation géométrique (affixes, distances, angles)

Type 6 : Transformations du plan (translation, rotation, homothétie)

Nombres complexes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Affixe d'un point et d'un vecteur

Affixe du milieu d'un segment

Calcul de distances entre deux points

Module et argument

Puissance de $i$

Division complexe

Opérations algébriques

Module d'un produit

Opérations sur les complexes

Forme algébrique du conjugué

Conjugué et module

Opérations algébriques

Conjugué d'un complexe

De l'exponentielle à l'algébrique

Division par le conjugué

Équation $z^2 + 9 = 0$

Forme exponentielle de $\\sqrt{3}+i$

Forme trigonométrique de $-2i$

Module d'un complexe

Module et argument de $1+i$

Forme algébrique : somme, produit, conjugué

Module et inverse d'un complexe

Parties réelle et imaginaire d'une somme

Produit de deux complexes

Reconnaître un cercle

Triangle isocèle par les modules

Exercices Intermédiaires

Carré d'un complexe

Cercle après mise sous forme canonique

Affixe d'un milieu

Module et argument

Forme exponentielle de $1 - i$

Équation 2nd degré complexe

Équation du second degré

Forme exponentielle

Lieu : médiatrice

Forme exponentielle

Formule de Moivre

Condition pour un imaginaire pur

Équation $2z^2 - 2z + 1 = 0$

Équation $z^2 - 2z + 5 = 0$

Équation $z^2 + z + 1 = 0$

Forme trigonométrique de $-1-i$

Médiatrice via les modules

Module d'un quotient

Nature d'un triangle équilatéral

Forme trigonométrique

Équation du second degré dans ℂ

Partie réelle d'un quotient

Produit et forme exponentielle

Type 3 : Résoudre une équation du second degré dans $C$