Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Dénombrement (rappels)

Factorielle : $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$ . ( $0! = 1$ )
Arrangement (ordonné, sans répétition) : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
Combinaison (non ordonné) : $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

II. Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire : dont on ne peut prédire le résultat
Univers $Ω$ : ensemble des résultats possibles
Événement : partie de $Ω$
Probabilité $P$ : fonction $Ω \to [0, 1]$ avec $P (Ω) = 1$

Cas équiprobable

Si tous les résultats sont équiprobables : $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$

III. Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $A$ un événement avec $P (A) > 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est :

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$

Formule des probabilités composées

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

IV. Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants ssi $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

De manière équivalente (si $P (A) > 0$ ) : $P (B ∣ A) = P (B)$ .

Attention : "incompatibles" ≠ "indépendants" ! Deux événements incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ) avec $P (A), P (B) > 0$ ne sont jamais indépendants.

V. Formules utiles

Complémentaire : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
Union : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Probabilités totales : si ${A_{1}, \dots, A_{n}}$ partition de $Ω$ :
$P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})$

VI. Variable aléatoire et loi binomiale

Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe à chaque résultat un nombre réel. La loi de $X$ donne les valeurs possibles et leurs probabilités.

Espérance, variance

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$
$σ (X) = V (X)$

Loi binomiale $B (n, p)$

$X$ = nombre de succès lors de $n$ répétitions indépendantes de Bernoulli (succès avec proba $p$ ) :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ .

VII. Méthode BAC type 2024

Énoncé : Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire successivement 3 boules SANS remise. $X$ = nombre de boules rouges obtenues.
1) Calculer $P (X = 0)$ .
2) Donner la loi de $X$ .

Solution :

1) $P (X = 0)$ = tirer 3 noires parmi 8 = $\frac{( 3 3 )}{( 3 8 )} = \frac{1}{56}$ .

2) $P (X = k) = \frac{( k 5 ) ( 3 - k 3 )}{( 3 8 )}$ pour $k = 0, 1, 2, 3$ .
$P (X = 0) = 1/56$ , $P (X = 1) = 15/56$ , $P (X = 2) = 30/56$ , $P (X = 3) = 10/56$ .
Vérification : $1 + 15 + 30 + 10 = 56$ ✓

VIII. Top 6 pièges à éviter

Confondre "incompatibles" et "indépendants".
Inverser numérateur et dénominateur dans $P (B ∣ A)$ .
Confondre arrangement et combinaison (ordre vs pas d'ordre).
Appliquer la loi binomiale à des tirages SANS remise (dépendance des essais).
Oublier $(k n)$ dans la formule binomiale.
Calculer $V (a X) = aV (X)$ . FAUX, c'est $a^{2} V (X)$ .

📈 Figure clé

Arbre pondéré (probabilités conditionnelles)

🔑 Formules clés à retenir

Dénombrement :

Arrangement : $A_{n}^{p} = n! / (n - p)!$
Combinaison : $(p n) = n! / (p! (n - p)!)$

Probabilités :

Équiprobabilité : $P = \frac{favorables}{possibles}$
Conditionnelle : $P (B ∣ A) = P (A \cap B) / P (A)$
Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) P (B)$

Espérance, variance :

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$

Loi binomiale $B (n, p)$ :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 Identifier le type de tirage : ordonné ou non, avec ou sans remise. Détermine la formule à utiliser.
🎯 Loi binomiale exige : répétitions indépendantes + 2 issues + même probabilité $p$ . Sinon, c'est une autre loi.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Probabilités

Type 1 : Calculer une probabilité conditionnelle

Quand ? On demande la probabilité d'un événement sachant qu'un autre est réalisé (« sachant que »).

Identifie l'événement conditionnant $B$ (après « sachant ») et l'événement cherché $A$ .
Applique $p_{B} (A) = \frac{p ( A \cap B )}{p ( B )}$ avec $p (B) \neq = 0$ .
Calcule séparément $p (A \cap B)$ et $p (B)$ .
Réciproquement : $p (A \cap B) = p (B) \times p_{B} (A)$ .

Exemple éclair : Si $p (A \cap B) = 0, 2$ et $p (B) = 0, 5$ alors $p_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

Type 2 : Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Quand ? Une expérience se fait en deux étapes, ou une partition de l'univers est donnée.

Construis l'arbre : premières branches = partition ${B, \overline{B}}$ , secondes branches = probabilités conditionnelles.
Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long des branches.
Probabilités totales : $p (A) = p (B) p_{B} (A) + p (\overline{B}) p_{\overline{B}} (A)$ .
La somme des branches partant d'un même nœud vaut $1$ .

Exemple éclair : $p (B) = 0, 6$ , $p_{B} (A) = 0, 3$ , $p_{\overline{B}} (A) = 0, 5$ : $p (A) = 0, 6 \times 0, 3 + 0, 4 \times 0, 5 = 0, 38$ .

Type 3 : Tester l'indépendance de deux événements

Quand ? On demande si $A$ et $B$ sont indépendants.

Calcule $p (A)$ , $p (B)$ et $p (A \cap B)$ .
$A$ et $B$ sont indépendants $\Leftrightarrow p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .
De façon équivalente : $p_{B} (A) = p (A)$ .
Si l'égalité est fausse, conclus que les événements sont dépendants.

Exemple éclair : $p (A) = 0, 5$ , $p (B) = 0, 4$ , $p (A \cap B) = 0, 2$ : comme $0, 5 \times 0, 4 = 0, 2$ , $A$ et $B$ sont indépendants.

Type 4 : Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Quand ? On définit une variable aléatoire $X$ (gain, nombre de succès) et on demande sa loi.

Détermine toutes les valeurs possibles $x_{i}$ prises par $X$ .
Calcule chaque probabilité $p (X = x_{i})$ .
Présente la loi dans un tableau et vérifie que $i \sum p (X = x_{i}) = 1$ .
Au besoin, calcule la fonction de répartition.

Exemple éclair : $X$ = nombre de Pile en lançant 2 pièces : $p (X = 0) = \frac{1}{4}$ , $p (X = 1) = \frac{1}{2}$ , $p (X = 2) = \frac{1}{4}$ ; somme $= 1$ .

Type 5 : Espérance, variance et écart-type

Quand ? La loi de $X$ est connue et on demande la valeur moyenne attendue ou la dispersion.

Espérance : $E (X) = i \sum x_{i} p (X = x_{i})$ .
Variance : $V (X) = i \sum x_{i}^{2} p (X = x_{i}) - (E (X))^{2}$ .
Écart-type : $σ (X) = V (X)$ .
Interprète : $E (X)$ est le gain moyen ; un jeu est équitable si $E (X) = 0$ .

Exemple éclair : Pour la loi $X = 0, 1, 2$ de probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ : $E (X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$ .

Type 6 : Loi binomiale

Quand ? On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité $p$ .

Vérifie les conditions : $n$ épreuves identiques, indépendantes, deux issues (schéma de Bernoulli).
$X$ = nombre de succès suit $B (n, p)$ ; alors $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Espérance : $E (X) = n p$ ; variance : $V (X) = n p (1 - p)$ .
Pour « au moins un » : utilise $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ .

Exemple éclair : $n = 5$ lancers, succès $p = \frac{1}{2}$ : $p (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$ .

Probabilités — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

71 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 71 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Branche manquante d'un arbre

Facile

Énoncé

Un arbre pondéré part d'un événement $A$ avec $p (A) = 0, 7$ . À partir de $A$ , on a la branche $p (B ∣ A) = 0, 3$ .

Donner la valeur de $p (\overline{A})$ puis celle de $p (\overline{B} ∣ A)$ .

Ma réponse

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I. Dénombrement (rappels)

II. Vocabulaire des probabilités

Cas équiprobable

III. Probabilité conditionnelle

Définition

Formule des probabilités composées

IV. Indépendance

V. Formules utiles

VI. Variable aléatoire et loi binomiale

Variable aléatoire

Espérance, variance

Loi binomiale B(n,p)

VII. Méthode BAC type 2024

VIII. Top 6 pièges à éviter

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Méthodes types — Probabilités

Type 1 : Calculer une probabilité conditionnelle

Type 2 : Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Type 3 : Tester l'indépendance de deux événements

Type 4 : Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Type 5 : Espérance, variance et écart-type

Type 6 : Loi binomiale

Probabilités — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Branche manquante d'un arbre

Calcul de p(A∩B)

Coefficient binomial C(4,2)

Compléter une loi de probabilité

Dé : au moins 5 et son contraire

Dé : obtenir un nombre pair

Définition de p(A|B)

Espérance à partir d'un tableau

Espérance d'une loi binomiale

Jetons numérotés : multiple de 3

Jeu de 32 cartes : tirer un roi

Loi binomiale symétrique B(6 ; 1/2)

Probabilité d'un chemin

Dénombrement et probabilité

Variable aléatoire — loi

Indépendance et événement contraire

Probabilité simple

Dénombrement par combinaison

Lancer de dé

Tirages avec remise

Probabilité simple

Tirage d'une boule dans une urne

Choix d'un élève dans une classe

Test d'indépendance

Urne : événement contraire

Exercices Intermédiaires

Arbre à deux niveaux complet

Au moins 4 succès B(5 ; 1/2)

Au moins un succès B(10 ; 0,1)

Au moins une rouge (par le contraire)

Conditionnelle avec union

Dé : union pair ou multiple de 3

Dépistage : probabilité totale

Déterminer deux probabilités avec E(X)

Deux jetons : somme paire

Deux urnes (probabilités totales)

Exactement deux rouges sur trois tirées

Formule des probabilités totales

Indépendance et complémentaire

Langues étrangères : formule de l'union

Loi complète et espérance B(3 ; 0,4)

Espérance d'une VA discrète

Tirage successif sans remise

Formule des probabilités totales

Loi binomiale : probabilité exacte

Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Loi binomiale

Loi binomiale $B (n, p)$