Comment réviser le chapitre Calcul intégral en 2bac-sm ?

Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.

Le chapitre Calcul intégral est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Calcul intégral fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Calcul intégral sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Calcul intégral sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Primitives

Définition

F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x $\in R$ .

Si F est une primitive de f, alors toute primitive est de la forme F + C (C $\in R$ ).

Primitives usuelles

f(x)	F(x)
$x^{n}$ (n $\neq =$ -1)	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	$e^{x}$
$cos (x)$	$sin (x)$
$sin (x)$	$- cos (x)$
$\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}$	$tan (x)$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln ∣ u ∣$
$u^{'} \cdot e^{u}$	$e^{u}$
$u^{'} \cdot u^{n}$	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$2 u$

II. Intégrale définie

Théorème fondamental

Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors :

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

Propriétés

Linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$
Relation de Chasles : $a \int b f + b \int c f = a \int c f$
Positivité : Si f $\geq$ 0 sur [a,b], alors $a \int b f \geq 0$
Inégalité : Si f $\leq$ g sur [a,b], alors $a \int b f \leq a \int b g$
Valeur absolue : $a \int b f \leq a \int b ∣ f ∣$

III. Intégration par parties

$a \int b u \cdot v^{'} d x = [u \cdot v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} \cdot v d x$

IV. Calcul d'aires

Aire entre $C_{f}$ et l'axe des x sur [a,b] : $A = a \int b ∣ f (x) ∣ d x$

Aire entre deux courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ : $A = a \int b ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$

V. Valeur moyenne

$μ = \frac{1}{b - a} \cdot a \int b f (x) d x$

📈 Figure clé

Aire sous

f (x) = 4 - x^{2}

entre

- 2

2

- 2 \int 2 (4 - x^{2}) d x

🔑 Formules clés à retenir

$a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$
IPP : $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$
Aire = $\int ∣ f (x) ∣ d x$
Valeur moyenne = $\frac{1}{b - a} \cdot \int f (x) d x$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Aire entre deux courbes sans valeur absolue : A = $\int ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ . Si les courbes se croisent sur $[a, b]$ , il faut découper l'intervalle là où $f (x) = g (x)$ et sommer les aires partielles !

❌

IPP : choisir u et v' correctement : pour $\int x \cdot e^{x} d x$ , prendre $u = x$ ( $u^{'} = 1$ ) et $v^{'} = e^{x}$ ( $v = e^{x}$ ). Si on prend $u = e^{x}$ et $v^{'} = x$ , l'intégrale devient plus complexe !

❌

$a \int b f (x) d x$ peut être négatif : l'intégrale est la somme algébrique des aires (positives au-dessus de l'axe, négatives en dessous). Pour l'aire géométrique, prendre la valeur absolue de chaque partie.

🟢 Astuces de pros

✅

Méthode IPP — règle LIATE : choisir u dans l'ordre : Logarithme, Inverse, Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle. Le premier de la liste = u. Ex : $\int x \cdot ln (x) d x$ → $u = ln (x)$ , $v^{'} = x$ .

✅

Changement de variable : poser $t = g (x)$ → $d t = g^{'} (x) d x$ . Changer les bornes ( $x = a \to t = g (a)$ , $x = b \to t = g (b)$ ) puis intégrer en t. Ne pas oublier de changer les bornes !

💡

Vérifier une primitive : dériver F pour vérifier $F^{'} = f$ . Toujours faire cette vérification rapide après calcul d'une primitive complexe — cela évite les erreurs de signe ou de coefficient.

🎯

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Manipule au lieu de mémoriser — 1 visualisation interactive pour ce chapitre.

📊 L'intégrale de Riemann Quand les rectangles deviennent une aire

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Calcul intégral

Type 1 : Déterminer une primitive d'une fonction

Quand ? On demande « une primitive de $f$ » ou de calculer $\int f (x) d x$ sans bornes.

Identifier la forme de $f$ et reconnaître les primitives usuelles ( $x^{n}$ , $\frac{1}{x}$ , $e^{x}$ , $cos$ , $sin$ ).
Repérer les formes composées : $u^{'} u^{n} \to \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ , $\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣$ , $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ .
Ajuster un coefficient multiplicatif pour faire apparaître $u^{'}$ .
Écrire $F (x) + C$ (constante d'intégration).

Exemple éclair : Une primitive de $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ est $F (x) = ln (x^{2} + 1)$ .

Type 2 : Calculer une intégrale définie directe

Quand ? Une intégrale $a \int b f (x) d x$ dont une primitive est immédiate.

Vérifier que $f$ est continue sur $[a; b]$ .
Déterminer une primitive $F$ de $f$ .
Appliquer le théorème fondamental : $a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .
Simplifier le résultat numérique.

Exemple éclair : $1 \int e \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = 1 - 0 = 1$ .

Type 3 : Calculer une intégrale par intégration par parties

Quand ? L'intégrande est un produit du type $x e^{x}$ , $x ln x$ , $x cos x$ , $ln x$ seul.

Poser $u (x)$ (qu'on dérive) et $v^{'} (x)$ (qu'on intègre) ; privilégier $u = ln$ ou $u =$ polynôme.
Calculer $u^{'} (x)$ et $v (x)$ .
Appliquer $a \int b u v^{'} d x = [u v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v d x$ .
Calculer l'intégrale restante (réitérer la formule si nécessaire).

Exemple éclair : $0 \int 1 x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

Type 4 : Calculer une aire entre courbes

Quand ? On demande l'aire du domaine délimité par $C_{f}$ et l'axe des abscisses ou entre deux courbes.

Déterminer les bornes (abscisses des points d'intersection ou bornes données).
Étudier le signe de $f$ (ou de $f - g$ ) sur l'intervalle.
Écrire l'aire $A = a \int b ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ , en plaçant la fonction du haut moins celle du bas.
Calculer l'intégrale et multiplier par l'unité d'aire $∥ i ∥ \times ∥ j ∥$ si demandé.

Exemple éclair : L'aire sous $f (x) = x$ entre $0$ et $2$ vaut $0 \int 2 x d x = 2$ unités d'aire.

Type 5 : Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Quand ? On demande la « valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ ».

Vérifier la continuité de $f$ sur $[a; b]$ et que $a \neq = b$ .
Appliquer la formule $μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$ .
Calculer l'intégrale par les méthodes précédentes.
Diviser par $b - a$ et conclure.

Exemple éclair : Valeur moyenne de $f (x) = x$ sur $[0; 2]$ : $μ = \frac{1}{2} 0 \int 2 x d x = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ .

Type 6 : Utiliser les propriétés de l'intégrale (positivité, ordre, encadrement)

Quand ? On demande de comparer des intégrales ou d'encadrer une intégrale sans la calculer.

Utiliser la linéarité et la relation de Chasles pour découper l'intégrale.
Si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ (avec $a \leq b$ ), alors $a \int b f \geq 0$ .
Si $f \leq g$ sur $[a; b]$ , alors $a \int b f \leq a \int b g$ (croissance).
Pour un encadrement : majorer/minorer $f$ par des constantes $m \leq f \leq M$ , d'où $m (b - a) \leq a \int b f \leq M (b - a)$ .

Exemple éclair : Sur $[0; 1]$ , $0 \leq x^{2} \leq x$ , donc $0 \leq 0 \int 1 x^{2} d x \leq 0 \int 1 x d x$ .

Type 7 : Étudier une suite d'intégrales

Quand ? Une suite $I_{n} = a \int b f_{n} (x) d x$ dépendant de $n$ (monotonie, limite, relation de récurrence).

Pour la monotonie, étudier le signe de $I_{n + 1} - I_{n} = a \int b (f_{n + 1} (x) - f_{n} (x)) d x$ .
Pour la convergence, encadrer $f_{n}$ et appliquer le théorème des gendarmes aux intégrales.
Pour une relation de récurrence, utiliser une intégration par parties reliant $I_{n + 1}$ et $I_{n}$ .
Conclure sur la limite ou la formule explicite.

Exemple éclair : Pour $I_{n} = 0 \int 1 x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ , on a $n \to + \infty lim I_{n} = 0$ .

Type 8 : Calculer une intégrale par changement de forme ou linéarisation

Quand ? L'intégrande est une fonction trigonométrique au carré, ou se décompose en éléments simples.

Linéariser les puissances de $cos$ et $sin$ via $cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2}$ , $sin^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}$ .
Pour une fraction rationnelle, décomposer en éléments simples.
Intégrer chaque terme séparément par les primitives usuelles.
Évaluer entre les bornes.

Exemple éclair : $0 \int π cos^{2} x d x = 0 \int π \frac{1 + cos ( 2 x )}{2} d x = \frac{π}{2}$ .

Calcul intégral

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Primitives usuelles

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III. Intégration par parties

IV. Calcul d'aires

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Méthodes types

Méthodes types — Calcul intégral

Type 1 : Déterminer une primitive d'une fonction

Type 2 : Calculer une intégrale définie directe

Type 3 : Calculer une intégrale par intégration par parties

Type 4 : Calculer une aire entre courbes

Type 5 : Calculer la valeur moyenne d'une fonction

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Type 7 : Étudier une suite d'intégrales

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