Comment réviser le chapitre Fonctions logarithmiques en 2bac-sm ?

Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.

Le chapitre Fonctions logarithmiques est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Fonctions logarithmiques fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Fonctions logarithmiques sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Fonctions logarithmiques sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Fonctions logarithmiques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Logarithme népérien

Définition

La fonction ln est la bijection réciproque de exp : $R \to] 0, + \infty [$

ln : $] 0, + \infty [\to R$ est définie par : $y = ln (x) \Leftrightarrow x = e^{y}$

Propriétés fondamentales

$ln (1) = 0$ , $ln (e) = 1$
$ln (e^{x}) = x$ pour tout $x \in R$
$e^{l n (x)} = x$ pour tout $x > 0$
$ln (ab) = ln (a) + ln (b)$
$ln (a / b) = ln (a) - ln (b)$
$ln (a^{n}) = n \cdot ln (a)$
$ln (1/ a) = - ln (a)$
$ln (a) = \frac{1}{2} ln (a)$

Dérivée

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
$(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Limites fondamentales

$x \to 0^{+} lim ln (x) = - \infty$
$x \to + \infty lim ln (x) = + \infty$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0$
$x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{α}} = 0$ pour $α > 0$
$x \to 0^{+} lim x^{α} \cdot ln (x) = 0$ pour $α > 0$

II. Logarithme décimal

$lo g (x) = \frac{l n ( x )}{l n ( 10 )}$

$lo g (10) = 1$ , $lo g (1 0^{n}) = n$

III. Résolution d'équations et inéquations

$ln (a) = ln (b) \Leftrightarrow a = b$ ( $a, b > 0$ )

$ln (a) < ln (b) \Leftrightarrow a < b$ (car ln est croissante)

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = ln x

: asymptote verticale

x = 0

, passe par

(1, 0)

🔑 Formules clés à retenir

$ln (ab) = ln (a) + ln (b)$
$ln (a^{n}) = n \cdot ln (a)$
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0$
$x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

$ln (a + b) \neq = ln (a) + ln (b)$ : la propriété de logarithme concerne la multiplication : $ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)$ . Il n'y a pas de formule pour $ln (a + b)$ !

❌

Domaine de ln : $ln (u)$ est défini seulement pour $u > 0$ (strictement). $ln (0)$ n'est pas défini (tend vers $- \infty$ ). Toujours vérifier l'argument avant d'écrire $ln (...)$ .

❌

$ln (a) < ln (b) \Leftrightarrow a < b$ : valide seulement si $a$ et $b$ sont tous deux positifs. Ne pas utiliser cette propriété sans vérifier que les arguments sont bien positifs.

🟢 Astuces de pros

✅

Limite $x \cdot ln (x)$ en $0^{+}$ : résultat = $0$ (à mémoriser !). Utiliser la substitution $x = e^{- t}$ avec $t \to + \infty$ pour le retrouver : $x \cdot ln (x) = e^{- t} \cdot (- t) = - \frac{t}{e ^{t}} \to 0$ .

✅

Résoudre $ln (f (x)) < ln (g (x))$ : puisque $ln$ est croissante, l'inéquation équivaut à $f (x) < g (x)$ ET les deux arguments positifs. Résoudre le système des deux conditions !

💡

Logarithme décimal : $lo g (x) = \frac{l n ( x )}{l n ( 10 )} \approx \frac{l n ( x )}{2 , 303}$ . Utile pour les calculs d'ordre de grandeur. $lo g (1000) = 3$ , $lo g (0.001) = - 3$ .

🎯

Visualise ce concept

Manipule au lieu de mémoriser — 1 visualisation interactive pour ce chapitre.

🔢 Le logarithme Quand Napier a rendu la multiplication facile

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Fonctions logarithmiques

Type 1 : Déterminer le domaine de définition d'une fonction avec $ln$

Quand ? L'expression contient $ln (u (x))$ , ou un quotient/racine où apparaît $ln$ .

Poser la condition d'existence du logarithme : $u (x) > 0$ .
Ajouter les autres conditions (dénominateur $\neq = 0$ , radicande $\geq 0$ ).
Résoudre le système d'inéquations.
Écrire $D_{f}$ comme intersection des ensembles trouvés, sous forme d'intervalles.

Exemple éclair : Pour $f (x) = ln (x - 2)$ , on impose $x - 2 > 0$ , donc $D_{f} =] 2; + \infty [$ .

Type 2 : Simplifier ou transformer une expression avec $ln$

Quand ? On demande d'écrire plus simplement, ou de prouver une égalité contenant des $ln$ .

Vérifier d'abord que les arguments sont strictement positifs.
Appliquer les propriétés : $ln (ab) = ln a + ln b$ , $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ , $ln (a^{n}) = n ln a$ .
Utiliser $ln (a) = \frac{1}{2} ln a$ si nécessaire.
Regrouper, factoriser et conclure.

Exemple éclair : $ln (8) = ln (2^{3}) = 3 ln 2$ .

Type 3 : Résoudre une équation logarithmique

Quand ? L'inconnue $x$ apparaît dans un ou plusieurs $ln$ reliés par $=$ .

Déterminer le domaine de validité (tous les arguments $> 0$ ).
Regrouper en un seul $ln$ de chaque côté grâce aux propriétés.
Utiliser l'injectivité : $ln A = ln B ⟺ A = B$ (avec $A, B > 0$ ), ou $ln A = k ⟺ A = e^{k}$ .
Résoudre l'équation algébrique obtenue.
Garder uniquement les solutions appartenant au domaine.

Exemple éclair : $ln (x) + ln (x - 1) = ln 2$ donne $x (x - 1) = 2$ , soit $x = 2$ (on rejette $x = - 1$ ).

Type 4 : Résoudre une inéquation logarithmique

Quand ? L'inconnue est dans un $ln$ avec un signe $<$ , $>$ , $\leq$ ou $\geq$ .

Déterminer le domaine (arguments $> 0$ ).
Regrouper en un $ln$ de chaque côté.
Utiliser la croissance stricte de $ln$ : $ln A < ln B ⟺ A < B$ (avec $A, B > 0$ ). Le sens de l'inégalité est conservé.
Résoudre puis intersecter avec le domaine.

Exemple éclair : $ln (x) < 1 ⟺ 0 < x < e$ .

Type 5 : Calculer une limite faisant intervenir $ln$

Quand ? Une limite en $0^{+}$ , en $+ \infty$ ou une forme indéterminée avec $ln$ .

Rappeler les limites de référence : $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ , $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ .
Pour les croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ .
Utiliser $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$ pour les formes $\frac{0}{0}$ .
Lever l'indétermination par factorisation du terme dominant ou changement de variable $t = ln x$ .

Exemple éclair : $x \to + \infty lim \frac{x - ln x}{x} = x \to + \infty lim (1 - \frac{ln x}{x}) = 1$ .

Type 6 : Dériver une fonction contenant $ln$

Quand ? On demande $f^{'} (x)$ et $f$ contient $ln$ , $ln (u)$ ou un produit/quotient avec $ln$ .

Utiliser $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (avec $u > 0$ ).
Appliquer les règles de dérivation (produit, quotient, composée) selon la forme.
Réduire $f^{'} (x)$ au même dénominateur pour étudier son signe.
Conclure sur le signe de $f^{'}$ et les variations.

Exemple éclair : Si $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ , alors $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Type 7 : Étudier complètement une fonction avec $ln$

Quand ? Énoncé « Étudier et tracer la courbe de $f$ » avec un $ln$ dans l'expression.

Déterminer $D_{f}$ et les limites aux bornes (repérer les asymptotes).
Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Étudier les branches infinies : asymptote verticale en $0^{+}$ si $lim = \pm \infty$ , branche parabolique selon $lim \frac{f ( x )}{x}$ .
Déterminer les points particuliers (intersections avec les axes, $f (1)$ ).
Tracer $C_{f}$ avec ses asymptotes.

Exemple éclair : Pour $f (x) = x - ln x$ sur $] 0; + \infty [$ , $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ s'annule en $x = 1$ , minimum $f (1) = 1$ .

Type 8 : Utiliser $ln$ dans une suite ou un encadrement

Quand ? Une suite définie avec $ln$ , ou un encadrement / résolution approchée demandant $ln$ .

Transformer l'égalité avec $ln$ pour isoler l'inconnue ( $a^{n} = b ⟺ n = \frac{ln b}{ln a}$ ).
Pour une suite $u_{n} = ln (v_{n})$ , étudier monotonie via le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Pour les inéquations en $n$ , appliquer $ln$ croissant pour conserver le sens.
Conclure (convergence, plus petit entier, limite).

Exemple éclair : $2^{n} \geq 1000 ⟺ n \geq \frac{ln 1000}{ln 2} \approx 9, 97$ , donc $n \geq 10$ .

Fonctions logarithmiques

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Type 5 : Calculer une limite faisant intervenir ln

Type 6 : Dériver une fonction contenant ln

Type 7 : Étudier complètement une fonction avec ln

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Type 5 : Calculer une limite faisant intervenir $ln$

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