Comment réviser le chapitre Limites et continuité en 2bac-sm ?

Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.

Le chapitre Limites et continuité est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Limites et continuité fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Limites et continuité sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Limites et continuité sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Limites d'une fonction

Limites en un point

On dit que f(x) tend vers $ℓ$ quand x tend vers a si :

$\forall ε > 0, \exists δ > 0 : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$

Limites de référence

$x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = 1$
$x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$
$x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x} = e$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$

Formes indéterminées

$\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$

Opérations sur les limites

Si $lim f = ℓ$ et $lim g = ℓ^{'}$ :

$lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}$
$lim (f \times g) = ℓ \times ℓ^{'}$
$lim (\frac{f}{g}) = \frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$ (si $ℓ^{'} \neq = 0$ )

II. Croissances comparées

Au voisinage de $+ \infty$

$x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0$ (l'exponentielle l'emporte sur les puissances)
$x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{α}} = 0$ pour $α > 0$ (les puissances l'emportent sur ln)
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$

III. Continuité

Définition

f est continue en a si $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur $[a, b]$ et si $f (a) \cdot f (b) < 0$ , alors $\exists c \in] a, b [$ tel que $f (c) = 0$ .

Corollaire (bijection) : Si f est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution pour tout k entre $f (a)$ et $f (b)$ .

IV. Prolongement par continuité

Si $x \to a lim f (x) = ℓ$ (finie) et f n'est pas définie en a, on prolonge f par continuité en posant $f (a) = ℓ$ .

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}

: asymptotes

x = 1

y = 2

🔑 Formules clés à retenir

$x \to 0 lim \frac{sin ( x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$e^{x} ≫ x^{n} ≫ ln (x)$ en $+ \infty$
TVI : f continue, $f (a) \cdot f (b) < 0$ $\Rightarrow$ $\exists c : f (c) = 0$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Forme indéterminée $\infty/\infty$ : ne jamais simplifier " $\infty/\infty = 1$ " ! Il faut factoriser par le terme dominant. Ex : $lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - x} = lim \frac{x ^{2} ( 3 + 1/ x ^{2} )}{x ^{2} ( 1 - 1/ x )} = \frac{3}{1} = 3$ .

❌

Oublier les croissances comparées : $x \to + \infty lim x \cdot e^{- x} = 0$ (l'expo bat la puissance). Beaucoup d'élèves concluent " $+ \infty \times 0$ = indéterminé" sans utiliser la croissance comparée.

❌

Limite $sin (x) / x$ : valable seulement en 0 : $sin (x) / x \to 1$ quand $x \to 0$ (et $x$ en radians !). En $+ \infty$ , $sin (x) / x \to 0$ (gendarmes avec $- 1/ x \leq sin (x) / x \leq 1/ x$ ).

🟢 Astuces de pros

✅

Lever une FI $0/0$ par factorisation : si $f (a) = g (a) = 0$ , factorise par $(x - a)$ aux numérateur et dénominateur, puis simplifie avant de substituer.

✅

Conjugué pour les radicaux : pour $x \to + \infty lim x + 1 - x$ , multiplier par $\frac{x + 1 + x}{x + 1 + x}$ . La différence se transforme en $\frac{1}{x + 1 + x} \to 0$ .

💡

Prolongement par continuité : si $x \to a lim f (x) = ℓ$ mais $f (a)$ non défini, on peut "prolonger" $f$ en posant $f (a) = ℓ$ pour rendre $f$ continue. C'est exactement ce qu'on fait avec $sin (x) / x$ en posant sa valeur = 1 en $x = 0$ .

🎯

Visualise ce concept

Manipule au lieu de mémoriser — 2 visualisations interactives pour ce chapitre.

⚡ Le théorème des valeurs intermédiaires Prouver qu'une solution existe… sans la calculer 🐢 Le paradoxe de Zénon Achille rattrapera-t-il jamais la tortue ? ✦ Pour aller plus loin

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$

Quand ? En calculant $x \to a lim \frac{N ( x )}{D ( x )}$ , le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $0$ .

Polynômes : factoriser par $(x - a)$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.
Présence de racines : multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée pour faire apparaître $(x - a)$ .
Taux d'accroissement : reconnaître $\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \to f^{'} (a)$ , ou utiliser une limite usuelle ( $\frac{sin x}{x} \to 1$ , etc.).
Simplifier, puis remplacer $x$ par $a$ dans l'expression réduite.

Exemple éclair : $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ .

Type 2 : Lever une forme indéterminée à l'infini ( $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ )

Quand ? $x \to \pm \infty lim$ d'un quotient, d'une somme de polynômes, ou d'une différence avec racines.

Fonction rationnelle : factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.
Polynôme seul : sa limite en $\pm \infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
Différence $\infty - \infty$ avec racines : multiplier par la quantité conjuguée.
Croissances comparées : en $+ \infty$ , $\frac{ln x}{x ^{n}} \to 0$ , $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ , $x^{n} e^{- x} \to 0$ .

Exemple éclair : $x \to + \infty lim (x^{2} + x - x) = x \to + \infty lim \frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{1}{2}$ .

Type 3 : Calculer une limite par comparaison ou encadrement

Quand ? La fonction contient $sin$ , $cos$ , une partie entière, ou une expression difficile à calculer directement mais facile à encadrer.

Théorème des gendarmes : encadrer $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ avec $g$ et $h$ de même limite $ℓ$ ; alors $lim f = ℓ$ .
Minoration vers $+ \infty$ : si $f (x) \geq g (x)$ et $lim g = + \infty$ , alors $lim f = + \infty$ .
Majoration vers $- \infty$ : si $f (x) \leq g (x)$ et $lim g = - \infty$ , alors $lim f = - \infty$ .
Partir d'un encadrement connu ( $- 1 \leq sin x \leq 1$ ) puis diviser/multiplier en respectant le signe.

Exemple éclair : $\frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{∣ x ∣} \to 0$ donc $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$ .

Type 4 : Étudier la continuité d'une fonction en un point

Quand ? Fonction définie par morceaux, ou demande « $f$ est-elle continue en $a$ ? » (souvent à la jonction de deux expressions).

Vérifier que $f$ est définie en $a$ (calculer $f (a)$ ).
Calculer la limite à gauche $x \to a^{-} lim f (x)$ et la limite à droite $x \to a^{+} lim f (x)$ .
$f$ est continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ .
Si une de ces égalités est fausse, conclure que $f$ n'est pas continue en $a$ .

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ si $x \neq = 1$ et $f (1) = 2$ : $x \to 1 lim f (x) = 2 = f (1)$ , donc $f$ est continue en $1$ .

Type 5 : Prolongement par continuité

Quand ? $f$ n'est pas définie en $a$ (forme $\frac{0}{0}$ en $a$ ), et on demande de prolonger $f$ par continuité en $a$ .

Calculer $x \to a lim f (x) = ℓ$ (en levant l'indétermination, Type 1).
Si cette limite $ℓ$ existe et est finie, le prolongement est possible.
Définir la fonction prolongée $\tilde{f}$ par $\tilde{f} (x) = f (x)$ si $x \neq = a$ et $\tilde{f} (a) = ℓ$ .
Conclure : $\tilde{f}$ est continue en $a$ (c'est le prolongement par continuité de $f$ ).

Exemple éclair : $f (x) = \frac{sin x}{x}$ n'est pas définie en $0$ ; comme $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ , on pose $\tilde{f} (0) = 1$ .

Type 6 : Montrer qu'une équation $f (x) = k$ admet une solution (TVI)

Quand ? On demande de prouver l'existence d'une solution de $f (x) = k$ (souvent $f (x) = 0$ ) sur un intervalle, sans pouvoir la calculer.

Vérifier que $f$ est continue sur $[a; b]$ .
Calculer $f (a)$ et $f (b)$ et vérifier que $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ (souvent $f (a) \cdot f (b) < 0$ pour $k = 0$ ).
Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires : il existe $c \in] a; b [$ tel que $f (c) = k$ .
Pour l'unicité : montrer de plus que $f$ est strictement monotone sur $[a; b]$ (via $f^{'}$ ).

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} + x - 1$ continue, $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , donc l'équation $f (x) = 0$ admet une solution dans $] 0; 1 [$ .

Type 7 : Image d'un intervalle par une fonction continue

Quand ? On demande $f ([a; b])$ , l'image d'un intervalle, ou de justifier que $f$ réalise une bijection.

Justifier que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ .
Étudier les variations de $f$ sur $I$ (signe de $f^{'}$ ).
L'image d'un segment $[a; b]$ par $f$ continue est un segment $[m; M]$ , avec $m$ le minimum et $M$ le maximum de $f$ sur $[a; b]$ .
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f (I)$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ continue sur $[- 1; 2]$ , croissante sur $[0; 2]$ : $f ([- 1; 2]) = [0; 4]$ .

Type 8 : Limite et asymptotes d'une courbe

Quand ? On demande de déterminer les asymptotes de la courbe $(C_{f})$ à partir des limites aux bornes.

Asymptote verticale : si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.
Asymptote horizontale : si $x \to \pm \infty lim f (x) = ℓ$ (fini), la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale.
Asymptote oblique $y = a x + b$ : calculer $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .
Position relative : étudier le signe de $f (x) - (a x + b)$ pour situer $(C_{f})$ par rapport à l'asymptote.

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ : $x \to \pm \infty lim (f (x) - x) = 0$ , donc $y = x$ est asymptote oblique.

Limites et continuité

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I. Limites d'une fonction

Limites en un point

Limites de référence

Formes indéterminées

Opérations sur les limites

II. Croissances comparées

Au voisinage de $+ \infty$

III. Continuité

Définition

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

IV. Prolongement par continuité

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Méthodes types

Méthodes types — Limites et continuité

Type 1 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$

Type 2 : Lever une forme indéterminée à l'infini ( $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ )

Type 3 : Calculer une limite par comparaison ou encadrement

Type 4 : Étudier la continuité d'une fonction en un point

Type 5 : Prolongement par continuité

Type 6 : Montrer qu'une équation $f (x) = k$ admet une solution (TVI)

Type 7 : Image d'un intervalle par une fonction continue

Type 8 : Limite et asymptotes d'une courbe

Bientôt disponible

Limites et continuité — Fiche d'exercices

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Exercices supplémentaires

Questions fréquentes

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Limites de référence

Formes indéterminées

Opérations sur les limites

II. Croissances comparées

Au voisinage de +∞

III. Continuité

Définition

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

IV. Prolongement par continuité

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Méthodes types

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Type 1 : Lever une forme indéterminée 00​

Type 2 : Lever une forme indéterminée à l'infini (∞∞​, ∞−∞)

Type 3 : Calculer une limite par comparaison ou encadrement

Type 4 : Étudier la continuité d'une fonction en un point

Type 5 : Prolongement par continuité

Type 6 : Montrer qu'une équation f(x)=k admet une solution (TVI)

Type 7 : Image d'un intervalle par une fonction continue

Type 8 : Limite et asymptotes d'une courbe

Bientôt disponible

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Exercices supplémentaires

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Au voisinage de $+ \infty$

Type 1 : Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$

Type 2 : Lever une forme indéterminée à l'infini ( $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ )

Type 6 : Montrer qu'une équation $f (x) = k$ admet une solution (TVI)