Comment réviser le chapitre Nombres complexes en 2bac-sm ?

Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.

Le chapitre Nombres complexes est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Nombres complexes fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Nombres complexes sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Nombres complexes sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Forme algébrique

Définition

Un nombre complexe z s'écrit $z = a + bi$ avec $a, b \in R$ et $i^{2} = - 1$ .

$a = Re (z)$ (partie réelle), $b = Im (z)$ (partie imaginaire)

Opérations

$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
Conjugué : $z$ $= a - bi$
$z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$
Module : $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

II. Forme trigonométrique

$z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ) = r \cdot e^{i θ}$

$θ = ar g (z)$ : argument de z

Formules

$∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ et $ar g (z_{1} \cdot z_{2}) = ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})$
$∣ z_{1} / z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣/∣ z_{2} ∣$ et $ar g (z_{1} / z_{2}) = ar g (z_{1}) - ar g (z_{2})$
$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ et $ar g (z^{n}) = n \cdot ar g (z)$

III. Forme exponentielle

$z = r \cdot e^{i θ}$ (formule d'Euler : $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ )

IV. Formule de Moivre

$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$

V. Racines n-ièmes de l'unité

$z^{n} = 1 \Rightarrow z_{k} = e^{2 ik π / n}$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

VI. Applications géométriques

Distance $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$
Milieu de $[A B]$ : $z_{M} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$
$ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) =$ angle $(A B, A C)$
Translation : $z^{'} = z + t$
Rotation de centre $Ω$ et angle $θ$ : $z^{'} - z_{Ω} = e^{i θ} (z - z_{Ω})$

📈 Figure clé

Image de

z = a + ib

dans le plan complexe

🔑 Formules clés à retenir

$i^{2} = - 1$ , $z \cdot \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$
$e^{i θ} = cos θ + i \cdot sin θ$
$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$
$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$
$ar g (z_{1} z_{2}) = ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Division en forme algébrique — multiplier par le conjugué : pour $z_{1} / z_{2}$ , multiplier numérateur ET dénominateur par $\overline{z_{2}}$ . Le dénominateur devient $∣ z_{2} ∣^{2}$ (réel !). Ne jamais "simplifier" partie par partie.

❌

Argument de $z_{1} / z_{2}$ : $ar g (z_{1} / z_{2}) = ar g (z_{1}) - ar g (z_{2})$ (soustraction, pas addition). Et $ar g (\overline{z}) = - ar g (z)$ .

❌

Racines n-ièmes : ne pas en oublier : l'équation $z^{n} = a$ admet exactement $n$ solutions dans $C$ . Les racines n-ièmes de l'unité : $z_{k} = e^{2 ik π / n}$ pour $k = 0, 1, \dots, n - 1$ .

🟢 Astuces de pros

✅

Moivre pour les formules trigo : $(e^{i θ})^{2} = e^{2 i θ}$ → $(cos θ + i sin θ)^{2} = cos (2 θ) + i sin (2 θ)$ . Développer le membre gauche et identifier parties réelle/imaginaire donne $cos (2 θ)$ et $sin (2 θ)$ .

✅

Lien géométrie-complexes : le module $∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B$ (distance), $ar g (z_{B} - z_{A}) =$ angle de $A B$ avec l'axe réel. La rotation de centre $Ω$ d'angle $θ$ : $z^{'} = e^{i θ} (z - z_{Ω}) + z_{Ω}$ .

💡

Somme des racines de l'unité = 0 : pour $n \geq 2$ , la somme des $n$ racines n-ièmes de l'unité vaut $0$ . Très utile pour des identités trigonométriques et des calculs de sommes.

🎯

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💫 Les nombres complexes i² = −1, et le monde change 🕳️ La fractale de Newton La méthode de Newton… devient psychédélique ✦ Pour aller plus loin

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Nombres complexes

Type 1 : Manipuler la forme algébrique (conjugué, module, opérations)

Quand ? On donne $z = a + ib$ et on demande une somme, un produit, un quotient, le conjugué ou le module.

Effectuer les opérations en utilisant $i^{2} = - 1$ .
Pour un quotient, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Identifier la partie réelle $Re (z) = a$ et imaginaire $Im (z) = b$ .
Calculer le module $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ et le conjugué $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ .

Exemple éclair : $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{1 - i}{2}$ .

Type 2 : Passer à la forme trigonométrique et exponentielle

Quand ? On demande le module et un argument, ou d'écrire $z$ sous forme $r e^{i θ}$ .

Calculer le module $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
Déterminer un argument $θ$ par $cos θ = \frac{a}{r}$ et $sin θ = \frac{b}{r}$ .
Écrire $z = r (cos θ + i sin θ)$ puis la forme exponentielle $z = r e^{i θ}$ .
Vérifier la cohérence du quadrant à l'aide du signe de $a$ et $b$ .

Exemple éclair : Pour $z = 1 + i$ , $r = 2$ et $θ = \frac{π}{4}$ , donc $z = 2 e^{iπ /4}$ .

Type 3 : Calculer une puissance avec la formule de Moivre

Quand ? On demande $z^{n}$ pour un grand exposant, ou de linéariser $cos^{n} θ$ / $sin^{n} θ$ .

Mettre $z$ sous forme exponentielle $z = r e^{i θ}$ .
Appliquer $z^{n} = r^{n} e^{in θ} = r^{n} (cos (n θ) + i sin (n θ))$ (formule de Moivre).
Réduire l'angle $n θ$ modulo $2 π$ si nécessaire.
Revenir à la forme algébrique si elle est demandée.

Exemple éclair : $(1 + i)^{4} = (2 e^{iπ /4})^{4} = 4 e^{iπ} = - 4$ .

Type 4 : Résoudre une équation dans $C$ (second degré, racines)

Quand ? Une équation $a z^{2} + b z + c = 0$ à coefficients réels ou complexes, à résoudre dans $C$ .

Calculer le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ \geq 0$ : racines réelles habituelles ; si $Δ < 0$ : $Δ = i ∣Δ∣$ .
Appliquer $z = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Pour $Δ$ complexe, chercher $δ$ tel que $δ^{2} = Δ$ en posant $δ = x + i y$ .

Exemple éclair : $z^{2} + 1 = 0$ a pour $Δ = - 4$ , d'où $z = \frac{\pm 2 i}{2} = \pm i$ .

Type 5 : Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe

Quand ? On demande de résoudre $z^{n} = a$ ou de trouver les racines n-ièmes de l'unité.

Écrire le nombre $a$ sous forme exponentielle $a = ρ e^{i φ}$ .
Chercher $z = r e^{i θ}$ avec $r^{n} = ρ$ et $n θ = φ + 2 k π$ .
En déduire $r = ρ^{1/ n}$ et $θ_{k} = \frac{φ + 2 k π}{n}$ pour $k \in {0, 1, \dots, n - 1}$ .
Écrire les $n$ solutions, réparties sur un cercle de rayon $r$ .

Exemple éclair : Les racines cubiques de l'unité sont $1$ , $e^{2 iπ /3}$ et $e^{4 iπ /3}$ .

Type 6 : Interpréter géométriquement module et argument

Quand ? On parle de distances, d'angles, d'alignement ou d'orthogonalité avec des affixes.

Traduire la distance $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ et le milieu $z_{I} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ .
Traduire l'angle orienté $(A B, A C) = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) [2 π]$ .
Alignement de $A, B, C$ $⟺$ $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ ; orthogonalité $⟺$ ce rapport imaginaire pur.
Conclure sur la nature géométrique (triangle, parallélogramme, etc.).

Exemple éclair : Si $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i$ , alors $A C = A B$ et $B A C = \frac{π}{2}$ (triangle rectangle isocèle en $A$ ).

Type 7 : Déterminer un ensemble de points (lieu géométrique)

Quand ? On cherche l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant une condition sur $z$ .

Poser $z = x + i y$ et traduire la condition donnée.
Si $∣ z - z_{A} ∣ = r$ : cercle de centre $A$ et rayon $r$ ; si $∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ : médiatrice de $[A B]$ .
Si $ar g (z - z_{A}) = θ$ : demi-droite issue de $A$ ; si un rapport est réel/imaginaire pur : droite ou cercle.
Développer en $x, y$ si besoin et reconnaître l'équation cartésienne.

Exemple éclair : $∣ z - 1∣ = 2$ est le cercle de centre le point d'affixe $1$ et de rayon $2$ .

Type 8 : Utiliser une transformation du plan (translation, rotation, homothétie)

Quand ? On donne une écriture complexe $z^{'} = f (z)$ et on demande de reconnaître la transformation ou les images.

Reconnaître la forme : translation $z^{'} = z + b$ , homothétie $z^{'} = k (z - ω) + ω$ avec $k \in R^{*}$ .
Rotation de centre $Ω$ et angle $θ$ : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .
Pour $z^{'} = a z + b$ avec $a \neq = 1$ : centre $ω = \frac{b}{1 - a}$ , rapport $∣ a ∣$ , angle $ar g (a)$ (similitude directe).
Calculer les affixes images en remplaçant $z$ et conclure sur les éléments caractéristiques.

Exemple éclair : $z^{'} = i z$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ .

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Type 1 : Manipuler la forme algébrique (conjugué, module, opérations)

Type 2 : Passer à la forme trigonométrique et exponentielle

Type 3 : Calculer une puissance avec la formule de Moivre

Type 4 : Résoudre une équation dans $C$ (second degré, racines)

Type 5 : Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe

Type 6 : Interpréter géométriquement module et argument

Type 7 : Déterminer un ensemble de points (lieu géométrique)

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Exercices supplémentaires

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Type 2 : Passer à la forme trigonométrique et exponentielle

Type 3 : Calculer une puissance avec la formule de Moivre

Type 4 : Résoudre une équation dans C (second degré, racines)

Type 5 : Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe

Type 6 : Interpréter géométriquement module et argument

Type 7 : Déterminer un ensemble de points (lieu géométrique)

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