Comment réviser le chapitre Probabilités en 2bac-sm ?

Commence par le résumé de cours et les formules clés, puis entraîne-toi sur les exercices corrigés pour vérifier ta compréhension, et termine par un examen blanc chronométré.

Le chapitre Probabilités est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Probabilités fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Probabilités sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Probabilités sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire X est une application de l'univers Ω vers $R$ .

La loi de probabilité de X est la donnée de $P (X = x_{i})$ pour chaque valeur $x_{i}$ .

Espérance, variance, écart-type

E(X) = $\sum x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
V(X) = $E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \sum x_{i}^{2} \cdot P (X = x_{i}) - μ^{2}$
σ(X) = $V (X)$
$E (a X + b) = a E (X) + b$
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$

II. Loi binomiale B(n, p)

Loi binomiale

X suit B(n, p) si : $P (X = k) = C (n, k) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$

où $C (n, k) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

E(X) = np
V(X) = np(1-p)
$σ (X) = n p (1 - p)$

III. Loi de Poisson P(λ)

$P (X = k) = e^{- λ} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !}$

$E (X) = V (X) = λ$

IV. Loi normale N(μ, σ²)

Loi normale centrée réduite N(0,1)

Densité : $φ (x) = \frac{1}{2 π} \cdot e^{- x^{2} /2}$

Propriétés de la fonction de répartition Φ :

$Φ (- x) = 1 - Φ (x)$
$P (∣ X ∣ \leq 1.96) \approx 0.95$
$P (∣ X ∣ \leq 2.58) \approx 0.99$

Intervalle de confiance

Pour une proportion p estimée par f sur n observations :

$IC_{95%} = [f - 1.96 \frac{f ( 1 - f )}{n}; f + 1.96 \frac{f ( 1 - f )}{n}]$

V. Probabilités conditionnelles

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$

Formule des probabilités totales : $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overset{ˉ}{A}) \cdot P (B ∣ \overset{ˉ}{A})$

Formule de Bayes : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$

📈 Figure clé

Diagramme d'une loi binomiale

🔑 Formules clés à retenir

P(X=k) = C(n,k)· $p^{k}$ · $(1 - p)^{n - k}$ (binomiale)
E(X) = np, V(X) = np(1-p)
P(A|B) = P(A $\cap$ B)/P(B)
Bayes : P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B)
IC $_{95%}$ : $[f \pm 1.96 \frac{f ( 1 - f )}{n}]$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Loi normale : la table donne P(Z ≤ z), pas P(Z = z) : pour une loi normale, P(Z = k) = 0 pour toute valeur k. Toujours calculer des probabilités sur des intervalles.

❌

Intervalle de confiance ≠ probabilité : "IC à 95%" signifie que la méthode donne un intervalle qui contient le vrai paramètre dans 95% des cas, pas que la probabilité est 95% pour CET intervalle particulier.

❌

Binomiale avec grand n : on peut approximer B(n,p) par une loi normale N(np, np(1−p)) seulement si np ≥ 5 ET n(1−p) ≥ 5. Vérifier ces conditions avant d'approximer !

🟢 Astuces de pros

✅

P(|Z| ≤ 1.96) ≈ 0.95 — à mémoriser : pour une loi normale centrée réduite, 95% des valeurs sont dans [−1.96 ; 1.96]. D'où la formule de l'IC à 95%.

✅

Bayes avec un arbre : dessine l'arbre, calcule P(B) par les probabilités totales, puis P(A|B) = (branche A puis B) / P(B). Visuel et fiable.

💡

Lire la table de la loi normale : la table donne Φ(z) = P(Z ≤ z). Pour P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a). Pour P(Z ≥ a) = 1 − Φ(a). Toujours se ramener à des probabilités de la forme P(Z ≤ z).

🎯

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Manipule au lieu de mémoriser — 2 visualisations interactives pour ce chapitre.

🎯 La loi binomiale n répétitions, une probabilité p : la planche de Galton 🎲 La loi des grands nombres Pourquoi le casino gagne toujours

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Probabilités

Type 1 : Calculer une probabilité par dénombrement (équiprobabilité)

Quand ? Tirages, choix simultanés ou successifs « au hasard » dans un ensemble fini, sans loi imposée. On suppose alors l'équiprobabilité.

Décrire l'univers $Ω$ et calculer son cardinal $card (Ω)$ (combinaison $(p n)$ si simultané, arrangement ou puissance si successif).
Décrire l'événement $A$ et compter ses cas favorables $card (A)$ par dénombrement.
Appliquer $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ .
Vérifier $0 \leq P (A) \leq 1$ .

Exemple éclair : Tirage simultané de $2$ boules parmi $5$ rouges et $3$ noires : $P (2 rouges) = \frac{( 2 5 )}{( 2 8 )} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ .

Type 2 : Probabilité conditionnelle et arbre pondéré

Quand ? L'énoncé donne « sachant que », des étapes successives, ou des probabilités d'un événement conditionnées par un autre (urnes successives, tests…).

Identifier les événements et traduire les données : $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ avec $P (A) \neq = 0$ .
Construire un arbre : 1re branche $P (A)$ , 2e branche conditionnelle $P (B ∣ A)$ .
Probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B ∣ A)$ .
Sommer les chemins menant au même événement final.

Exemple éclair : Si $P (A) = 0, 6$ et $P (B ∣ A) = 0, 5$ , alors $P (A \cap B) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3$ .

Type 3 : Formule des probabilités totales

Quand ? On cherche $P (B)$ alors qu'on ne connaît $B$ que conditionnellement à plusieurs cas qui forment une partition de $Ω$ (ex. plusieurs urnes, plusieurs machines).

Choisir un système complet d'événements $(A_{1}, \dots, A_{n})$ : deux à deux incompatibles et de réunion $Ω$ .
Écrire $P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) \times P (B ∣ A_{i})$ .
Remplacer chaque terme par les valeurs (souvent lues sur l'arbre).
Pour une probabilité « à rebours », appliquer Bayes : $P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) \times P ( B ∣ A _{i} )}{P ( B )}$ .

Exemple éclair : Avec $Ω = A \cup \overset{ˉ}{A}$ : $P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (\overset{ˉ}{A}) P (B ∣ \overset{ˉ}{A})$ .

Type 4 : Montrer (ou utiliser) l'indépendance

Quand ? L'énoncé demande si deux événements sont indépendants, ou affirme l'indépendance pour calculer une intersection.

Calculer séparément $P (A)$ , $P (B)$ et $P (A \cap B)$ .
$A$ et $B$ sont indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .
De façon équivalente (si $P (A) \neq = 0$ ) : vérifier $P (B ∣ A) = P (B)$ .
Si indépendance donnée : utiliser directement $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Exemple éclair : $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2 = 0, 4 \times 0, 5$ : indépendants.

Type 5 : Déterminer la loi d'une variable aléatoire

Quand ? Une grandeur numérique $X$ (gain, nombre de succès…) dépend de l'expérience et on demande « la loi de probabilité de $X$ ».

Déterminer l'ensemble des valeurs possibles $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{k}}$ .
Pour chaque $x_{i}$ , calculer $P (X = x_{i})$ par dénombrement ou via un arbre.
Présenter la loi dans un tableau valeurs / probabilités.
Vérifier $i \sum P (X = x_{i}) = 1$ .

Exemple éclair : $X =$ nombre de piles en $2$ lancers : $P (X = 0) = \frac{1}{4}$ , $P (X = 1) = \frac{1}{2}$ , $P (X = 2) = \frac{1}{4}$ .

Type 6 : Espérance, variance et écart-type

Quand ? Après avoir établi la loi de $X$ , on demande le « gain moyen », l'espérance $E (X)$ , la variance $V (X)$ ou l'écart-type $σ (X)$ .

$E (X) = i \sum x_{i} P (X = x_{i})$ .
$V (X) = i \sum x_{i}^{2} P (X = x_{i}) - (E (X))^{2}$ (formule de König-Huygens).
$σ (X) = V (X)$ .
Pour un jeu « équitable », vérifier $E (gain) = 0$ .

Exemple éclair : Loi ${(- 1; 0, 5), (1; 0, 5)}$ : $E (X) = 0$ , $V (X) = 1 - 0 = 1$ , $σ (X) = 1$ .

Type 7 : Reconnaître et appliquer la loi binomiale

Quand ? On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès / échec) de probabilité de succès $p$ constante : schéma de Bernoulli.

Justifier les conditions : $n$ répétitions, indépendance, même probabilité $p$ de succès.
Poser $X =$ nombre de succès, alors $X$ suit $B (n, p)$ , avec $X (Ω) = {0, 1, \dots, n}$ .
Appliquer $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Utiliser $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ pour « au moins une fois ».

Exemple éclair : $X \sim B (5; \frac{1}{3})$ : $P (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{3}$ .

Type 8 : Espérance et variance d'une loi binomiale

Quand ? $X$ suit déjà $B (n, p)$ et on demande $E (X)$ , $V (X)$ ou $σ (X)$ sans repasser par la loi complète.

Vérifier que $X \sim B (n, p)$ (sinon, Type 7 d'abord).
Appliquer directement $E (X) = n p$ .
Appliquer $V (X) = n p (1 - p)$ .
En déduire $σ (X) = n p (1 - p)$ .

Exemple éclair : $X \sim B (20; 0, 3)$ : $E (X) = 6$ , $V (X) = 20 \times 0, 3 \times 0, 7 = 4, 2$ .

Probabilités

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