Comment réviser le chapitre Les suites numériques en 2bac-sm ?

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Le chapitre Les suites numériques est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Les suites numériques fait partie du programme officiel de 2bac-sm au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Les suites numériques sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Les suites numériques sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Les suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Une suite numérique est une application de $N$ (ou une partie de $N$ ) dans $R$ . On la note $(u_{n})_{n \in N}$ .

Modes de génération

Forme explicite : $u_{n} = f (n)$ . Exemple : $u_{n} = 2 n^{2} + 3 n - 1$
Forme récurrente : $u_{n + 1} = f (u_{n})$ avec $u_{0}$ donné. Exemple : $u_{0} = 2$ , $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$

II. Suites arithmétiques

Définition et propriétés

$(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ $\Leftrightarrow$ $\forall n \in N : u_{n + 1} = u_{n} + r$

Terme général : $u_{n} = u_{0} + n r = u_{p} + (n - p) r$
Somme : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$
Somme des n premiers entiers : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

III. Suites géométriques

Définition et propriétés

$(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ $\Leftrightarrow$ $\forall n \in N : u_{n + 1} = q \cdot u_{n}$

Terme général : $u_{n} = u_{0} \cdot q^{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}$
Somme (q ≠ 1) : $S_{n} = u_{0} \cdot \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$
Formule utile : $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$

IV. Sens de variation

Méthode 1 : Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
Méthode 2 : Si $u_{n} > 0$ , comparer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$
Méthode 3 : Étudier $f (x)$ si $u_{n} = f (n)$

V. Convergence des suites

Théorèmes fondamentaux

Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge.
Suites adjacentes : Si $(u_{n})$ croissante, $(v_{n})$ décroissante et $lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ , alors elles convergent vers la même limite.
Suite géométrique : $lim q^{n} = 0$ si $∣ q ∣ < 1$ ; diverge si $∣ q ∣ \geq 1$ $(q \neq = 1)$
Limites de référence : $lim n^{α} = + \infty$ $(α > 0)$ ; $lim \frac{1}{n ^{α}} = 0$ $(α > 0)$

VI. Suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et $f$ est continue en $ℓ$ , alors $ℓ = f (ℓ)$ .

Pour montrer la convergence : chercher un intervalle stable, montrer la monotonie et les bornes.

🔑 Formules clés à retenir

$u_{n} = u_{0} + n r$ (arithmétique)
$S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$ (somme arithmétique)
$u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}$ (géométrique)
$S = \frac{u _{0} ( 1 - q ^{n + 1} )}{1 - q}$ (somme géométrique)
$∣ q ∣ < 1 \Rightarrow lim q^{n} = 0$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Convergence monotone : deux conditions obligatoires : croissante ET majorée (ou décroissante ET minorée). Une suite croissante non majorée diverge vers $+ \infty$ !

❌

Point fixe ne garantit pas la convergence : si $u_{n} \to ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ . Mais l'existence d'un point fixe ne prouve pas que la suite converge — il faut aussi montrer la convergence.

❌

Suites adjacentes : vérifier les deux conditions : l'une croissante, l'autre décroissante ET $v_{n} - u_{n} \to 0$ . Une seule condition ne suffit pas !

🟢 Astuces de pros

✅

Intervalle stable pour $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : cherche $[a, b]$ tel que $f ([a, b]) \subseteq [a, b]$ . Si $f$ est monotone sur $[a, b]$ et la suite y commence, elle y reste — preuve par récurrence.

✅

Utiliser les suites adjacentes pour encadrer une limite : si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes et convergent vers $ℓ$ , alors pour tout $n$ : $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ . Très utile pour les approximations numériques.

💡

Croissances comparées en $\pm \infty$ : $ln (n) ≪ n^{α} ≪ e^{n}$ (pour $α > 0$ ). Quand $n \to + \infty$ , l'exponentielle "écrase" toute puissance, qui "écrase" tout logarithme.

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🎯 0,9999… = 1 Le paradoxe qui rend dingue 90% des élèves ✦ Pour aller plus loin 🦋 La suite logistique et le chaos Une équation de lapins qui plonge dans le chaos ✦ Pour aller plus loin

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Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Les suites numériques

Type 1 : Démontrer une propriété par récurrence

Quand ? L'énoncé contient « pour tout $n \in N$ » et une propriété $P (n)$ portant sur un entier : une inégalité $u_{n} > 0$ , un encadrement, une formule explicite, ou $u_{n} \leq u_{n + 1}$ .

Initialisation : vérifier que $P (n_{0})$ est vraie (souvent $n_{0} = 0$ ou $n_{0} = 1$ ) en calculant les deux membres.
Hérédité : supposer $P (n)$ vraie pour un $n \geq n_{0}$ fixé (hypothèse de récurrence).
Démontrer $P (n + 1)$ en partant de l'hypothèse : transformer $u_{n + 1}$ via la relation de récurrence et utiliser $P (n)$ .
Conclusion : $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ .

Exemple éclair : Si $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 1$ , montrer $u_{n} > 1$ : initialisation $u_{0} = 2 > 1$ ; hérédité $u_{n} > 1 \Rightarrow \frac{u _{n}}{2} + 1 > \frac{1}{2} + 1 > 1$ .

Type 2 : Étudier la monotonie d'une suite

Quand ? On demande « la suite est-elle croissante / décroissante / monotone ? » ou de justifier le sens de variation.

Méthode du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ : calculer et simplifier $u_{n + 1} - u_{n}$ , puis étudier son signe. Si $\geq 0$ pour tout $n$ : croissante ; si $\leq 0$ : décroissante.
Méthode du quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ : à utiliser si tous les termes sont strictement positifs. Comparer le quotient à $1$ .
Méthode fonction : si $u_{n} = f (n)$ , étudier le sens de variation de $f$ sur $[n_{0}; + \infty [$ via $f^{'}$ .
Conclure clairement (croissante, décroissante, ou stationnaire).

Exemple éclair : $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0$ , donc $(u_{n})$ est décroissante.

Type 3 : Étudier une suite arithmétique ou géométrique

Quand ? La relation est de la forme $u_{n + 1} = u_{n} + r$ (arithmétique) ou $u_{n + 1} = q u_{n}$ (géométrique), ou on doit le démontrer.

Identifier le type : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ (constante $\Rightarrow$ arithmétique de raison $r$ ) ou $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ (constante $\Rightarrow$ géométrique de raison $q$ ).
Écrire le terme général : arithmétique $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ ; géométrique $u_{n} = u_{n_{0}} q^{n - n_{0}}$ .
Pour une somme : arithmétique $S = (nb termes) \times \frac{u _{premier} + u _{dernier}}{2}$ ; géométrique $S = u_{premier} \times \frac{1 - q ^{nb termes}}{1 - q}$ (si $q \neq = 1$ ).
Pour la limite : géométrique convergente $\Leftrightarrow - 1 < q \leq 1$ ; si $∣ q ∣ < 1$ alors $lim q^{n} = 0$ .

Exemple éclair : $u_{n + 1} = 3 u_{n}$ , $u_{0} = 2$ : suite géométrique $q = 3$ , donc $u_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ et $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

Type 4 : Ramener une suite à une suite géométrique (suite auxiliaire)

Quand ? Relation affine $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ , $b \neq = 0$ ; l'énoncé introduit $v_{n} = u_{n} - ℓ$ et demande de montrer que $(v_{n})$ est géométrique.

Déterminer le point fixe $ℓ$ : résoudre $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .
Poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ puis calculer $v_{n + 1} = u_{n + 1} - ℓ = a u_{n} + b - ℓ = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n}$ .
Conclure : $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ , donc $v_{n} = v_{0} a^{n}$ .
Revenir à $u_{n}$ : $u_{n} = v_{n} + ℓ = v_{0} a^{n} + ℓ$ , puis calculer la limite.

Exemple éclair : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ : point fixe $ℓ = 6$ , $v_{n} = u_{n} - 6$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , donc $u_{n} = (u_{0} - 6) (\frac{1}{2})^{n} + 6 \to 6$ .

Type 5 : Étudier une suite définie par récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Quand ? On donne $u_{0}$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , et on demande d'étudier le comportement, la convergence ou la limite éventuelle.

Stabilité de l'intervalle : montrer par récurrence que tous les $u_{n}$ appartiennent à un intervalle $I$ stable par $f$ (c.-à-d. $f (I) \subset I$ ).
Monotonie : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou comparer $f (x)$ à $x$ sur $I$ ; si $f$ est croissante sur $I$ , la suite est monotone (sens donné par le signe de $u_{1} - u_{0}$ ).
Convergence : une suite monotone et bornée converge (théorème de convergence monotone).
Valeur de la limite : si $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ et $f$ continue, alors $ℓ$ vérifie $ℓ = f (ℓ)$ ; résoudre cette équation et choisir la solution dans $I$ .

Exemple éclair : $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ , $u_{0} = 0$ : suite croissante majorée par $2$ , donc converge vers $ℓ$ avec $ℓ = ℓ + 2 \Rightarrow ℓ = 2$ .

Type 6 : Majorer, minorer, encadrer une suite

Quand ? On demande de montrer que $(u_{n})$ est bornée, majorée par $M$ , minorée par $m$ , ou d'établir un encadrement $a \leq u_{n} \leq b$ .

Si la borne dépend de la récurrence : démontrer l'inégalité par récurrence (Type 1).
Si $u_{n} = f (n)$ : étudier les variations / la limite de $f$ pour encadrer.
Combiner avec la monotonie : une suite croissante est minorée par son premier terme ; décroissante, majorée par son premier terme.
Conclure : $(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple éclair : $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$ vérifie $0 \leq u_{n} < 1$ pour tout $n$ , donc $(u_{n})$ est bornée.

Type 7 : Suites adjacentes

Quand ? On donne deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ et on demande de montrer qu'elles sont adjacentes, ou d'en déduire leur convergence vers une limite commune.

Montrer que $(u_{n})$ est croissante (signe de $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ ).
Montrer que $(v_{n})$ est décroissante (signe de $v_{n + 1} - v_{n} \leq 0$ ).
Montrer que $n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .
Conclusion : $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, donc convergent vers une même limite $ℓ$ , avec de plus $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ pour tout $n$ .

Exemple éclair : $u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ sont adjacentes et convergent vers $e$ .

Type 8 : Calculer la limite d'une suite (formes indéterminées)

Quand ? On demande $n \to + \infty lim u_{n}$ avec une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , etc.

Quotient de polynômes en $n$ : factoriser par le terme dominant (plus haute puissance) au numérateur et au dénominateur.
Différence avec racines ( $\infty - \infty$ ) : multiplier par la quantité conjuguée.
Théorème des gendarmes : si $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ et $a_{n}, b_{n} \to ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .
Comparaison : si $u_{n} \geq a_{n}$ avec $a_{n} \to + \infty$ , alors $u_{n} \to + \infty$ ; et croissances comparées ( $q^{n}$ , $n^{p}$ , etc.).

Exemple éclair : $n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} - n}{3 n ^{2} + 1} = n \to + \infty lim \frac{n ^{2} ( 2 - \frac{1}{n} )}{n ^{2} ( 3 + \frac{1}{n ^{2}} )} = \frac{2}{3}$ .

Les suites numériques

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VI. Suites définies par un+1​=f(un​)

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