Polynômes et Factorisation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 8 : Polynômes et Factorisation

I. Polynômes

Un polynôme en x est une expression de la forme : P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

Exemple : P(x) = 2x² + 3x - 5

II. Identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple : (x + 3)² = x² + 6x + 9

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemple : (x - 2)² = x² - 4x + 4

(a + b)(a - b) = a² - b²

Exemple : (x + 5)(x - 5) = x² - 25

III. Factorisation

Facteur commun : ab + ac = a(b + c)

Exemple : 2x + 4x² = 2x(1 + 2x)

Utiliser les identités remarquables :

x² + 6x + 9 = (x + 3)²
x² - 25 = (x - 5)(x + 5)

IV. Développement et réduction

Appliquer la distributivité pour développer une expression.

Exemple : (2x + 3)(x - 1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3

🔑 Formules clés à retenir

(a + b)² : a² + 2ab + b²
(a - b)² : a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) : a² - b²
Facteur commun : ab + ac = a(b + c)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

(a + b)² ≠ a² + b² — Le terme 2ab est souvent oublié. (x + 4)² = x² + 8x + 16, pas x² + 16.

❌

Signe du milieu dans (a − b)² — (x − 3)² = x² − 6x + 9. Le terme du milieu est négatif.

❌

Mal factoriser : oublier de sortir le bon facteur — Dans 6x² + 4x, le facteur commun est 2x, pas 2. Résultat : 2x(3x + 2).

🟢 Astuces de pros

✅

Vérifier un développement : remplacer x par une valeur simple (ex: x = 1 ou x = 2) dans les deux expressions. Si égales → correct.

💡

Pour factoriser, chercher toujours le plus grand facteur commun (coefficients ET puissances de x). Ne sortir que ce qui divise tous les termes.

Polynômes et Factorisation — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Développer et réduire

🟢 Facile

Énoncé

Développer et réduire :

3(x + 2) + 4(x - 1)
(x + 1)(x + 3)
2(x - 2)² - x(x + 1)

Ma réponse

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Correction détaillée

3x + 6 + 4x - 4 = 7x + 2
x² + 3x + x + 3 = x² + 4x + 3
2(x² - 4x + 4) - x² - x = 2x² - 8x + 8 - x² - x = x² - 9x + 8

Degré et coefficient d'un polynôme

🟢 Facile

Énoncé

Donner le degré et le coefficient dominant de : P(x) = 3x⁴ - 2x² + x - 5
Calculer P(0), P(1) et P(-1) pour P(x) = x² - 3x + 2.
Montrer que x = 2 est racine de Q(x) = x² - 5x + 6.

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Correction détaillée

Degré = 4, coefficient dominant = 3.
P(0) = 0 - 0 + 2 = 2. P(1) = 1 - 3 + 2 = 0. P(-1) = 1 + 3 + 2 = 6.
Q(2) = 4 - 10 + 6 = 0. Donc x = 2 est bien racine.

Factorisation simple — mise en facteur

🟢 Facile

Énoncé

Factoriser en mettant en évidence le facteur commun :

6x² + 9x
4a²b − 8ab²
3(x+1) − x(x+1)
2x² − 5x − 3 (chercher les racines puis factoriser)

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Correction détaillée

6x² + 9x = 3x(2x + 3)
4a²b − 8ab² = 4ab(a − 2b)
3(x+1) − x(x+1) = (x+1)(3 − x) (facteur commun : (x+1))
On teste x=3 : 18−15−3 = 0 ✓. Donc (x−3) est facteur. Division : 2x²−5x−3 = (x−3)(2x+1).

Valeur d'un polynôme

🟢 Facile

Énoncé

Soit P(x) = 2x² − 3x + 1.

Calculer P(0), P(1), P(2) et P(−1).
Pour quelle valeur de x a-t-on P(x) = 0 ? (Factoriser P(x))
Est-ce que x = 1/2 est racine de P(x) ?

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Correction détaillée

P(0) = 0 − 0 + 1 = 1. P(1) = 2 − 3 + 1 = 0. P(2) = 8 − 6 + 1 = 3. P(−1) = 2 + 3 + 1 = 6.
P(x) = 2x² − 3x + 1 = (x − 1)(2x − 1) [car P(1) = 0]. Racines : x = 1 et x = 1/2.
P(1/2) = 2×(1/4) − 3×(1/2) + 1 = 1/2 − 3/2 + 1 = 0. Oui, x = 1/2 est racine.

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Utiliser les identités remarquables

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer : (x + 2)²
Développer : (x - 3)²
Développer : (x + 4)(x - 4)

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Correction détaillée

(x + 2)² = x² + 4x + 4
(x - 3)² = x² - 6x + 9
(x + 4)(x - 4) = x² - 16

Factoriser

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser : 2x + 4
Factoriser : x² - 9
Factoriser : x² + 4x + 4

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Correction détaillée

2x + 4 = 2(x + 2)
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

Développer des expressions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :

(2x + 3)²
(3x - 2)²
(x + 5)(x - 5)
(2x + 1)(3x - 2)

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Correction détaillée

(2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x - 2)² = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² - 12x + 4
(x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25
(2x + 1)(3x - 2) = 6x² - 4x + 3x - 2 = 6x² - x - 2

Factoriser en utilisant les identités remarquables

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

9x² - 16
x² - 10x + 25
4x² + 12x + 9
3x² - 27

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Correction détaillée

9x² - 16 = (3x)² - 4² = (3x - 4)(3x + 4)
x² - 10x + 25 = x² - 2 × x × 5 + 5² = (x - 5)²
4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = (2x + 3)²
3x² - 27 = 3(x² - 9) = 3(x - 3)(x + 3)

Identités remarquables niveau 2AC

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer puis réduire :

(3x + 1)² − (3x − 1)²
(x + 2)(x − 2) − (x − 1)²
(a + b)² − 2(a + b) + 1 (factoriser le résultat)

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Correction détaillée

(3x+1)² − (3x−1)² = (9x²+6x+1) − (9x²−6x+1) = 12x. 12x
(Méthode rapide : (A+B)²−(A−B)² = 4AB = 4×3x×1 = 12x)
(x+2)(x−2) − (x−1)² = (x²−4) − (x²−2x+1) = x²−4−x²+2x−1 = 2x − 5
(a+b)² − 2(a+b) + 1 = posons t = a+b : t² − 2t + 1 = (t−1)² = (a+b−1)²

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Simplifier des fractions algébriques

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et/ou le dénominateur :

(x² - 4) / (x - 2)
(x² - 9) / (x + 3)
(x² + 4x + 4) / (x + 2)
Résoudre l'équation : (x² - 25) / (x - 5) = 0

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Correction détaillée

x² - 4 = (x-2)(x+2), donc (x²-4)/(x-2) = x + 2 (avec x ≠ 2)
x² - 9 = (x-3)(x+3), donc (x²-9)/(x+3) = x - 3 (avec x ≠ -3)
x² + 4x + 4 = (x+2)², donc (x²+4x+4)/(x+2) = x + 2 (avec x ≠ -2)
(x+5)(x-5)/(x-5) = x + 5 = 0 ⇒ x = -5 (et x ≠ 5)

Application des identités remarquables

🔴 Difficile

Énoncé

Calculer 99² en utilisant l'identité (a - b)² = a² - 2ab + b².
Calculer 51 × 49 en utilisant l'identité (a + b)(a - b) = a² - b².
Factoriser entièrement : 2x³ - 8x.

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Correction détaillée

99² = (100 - 1)² = 100² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801
51 × 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50² - 1² = 2 500 - 1 = 2 499
2x³ - 8x = 2x(x² - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)

Équation du second degré par factorisation

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre en factorisant :

x² - x - 6 = 0
4x² - 12x + 9 = 0
x² - 9 = 0

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Correction détaillée

x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 ou x = -2
4x² - 12x + 9 = (2x - 3)² = 0 ⇒ x = 3/2 (racine double)
x² - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = 3 ou x = -3

Problème avec polynôme

🔴 Difficile

Énoncé

Un rectangle a une longueur de (x + 5) cm et une largeur de (x - 2) cm. Exprimer l'aire A(x) en fonction de x. Pour quelle valeur de x l'aire est-elle 24 cm² ?
Factoriser complètement : 3x² - 12 puis résoudre 3x² - 12 = 0.

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Correction détaillée

A(x) = (x + 5)(x - 2) = x² + 3x - 10. On résout x² + 3x - 10 = 24 ⇒ x² + 3x - 34 = 0. Δ = 9 + 136 = 145. x = (-3 ± √145)/2. Solution positive : x ≈ 4,5 cm.
3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x - 2)(x + 2). Solutions : x = 2 ou x = -2.

Problème — polynôme et aire

🔴 Difficile

Énoncé

Un carré de côté x cm est élargi : sa longueur augmente de 3 cm et sa largeur augmente de 2 cm, formant un rectangle.

Exprimer l'aire du rectangle A(x) en développant.
De combien l'aire augmente-t-elle par rapport au carré initial ?
Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle est-elle le double de l'aire du carré ?

Ma réponse

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Correction détaillée

A(x) = (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.
Aire du carré = x². Augmentation = A(x) − x² = 5x + 6 cm².
A(x) = 2x² ⇒ x² + 5x + 6 = 2x² ⇒ x² − 5x − 6 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0.
Comme x > 0, la solution est x = 6 cm.

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I. Polynômes

II. Identités remarquables

III. Factorisation

IV. Développement et réduction

🔑 Formules clés à retenir

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🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Développer et réduire

Degré et coefficient d'un polynôme

Factorisation simple — mise en facteur

Valeur d'un polynôme

🟡 Exercices Intermédiaires

Utiliser les identités remarquables

Factoriser

Développer des expressions

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Identités remarquables niveau 2AC

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Simplifier des fractions algébriques

Application des identités remarquables

Équation du second degré par factorisation

Problème avec polynôme

Problème — polynôme et aire

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