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Comment réviser le chapitre Polynômes en 2ème Année Collège ?

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Le chapitre Polynômes est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Polynômes fait partie du programme officiel de 2ème Année Collège au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Polynômes sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Polynômes sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Polynômes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Définition

Un polynôme

P (x)

est une expression de la forme :

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

où

a_{n} \neq = 0

n

est le degré.

Opérations sur les polynômes

Somme : $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$
Produit : $de g (P \times Q) = de g P + de g Q$

Racines d'un polynôme

a

est une racine de

P

P (a) = 0

. Si

a

est racine, alors

(x - a)

divise

P (x)

Polynôme du second degré : $a x^{2} + b x + c$

Discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : deux racines $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
$Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$Δ < 0$ : pas de racine réelle

Factorisation

$Δ > 0$ : $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$ : $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$

Relations entre coefficients et racines

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

;

x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

📈 Figure clé

Parabole

x^{2} - 2 x - 3

(racines

- 1

3

)

🔑 Formules clés à retenir

$Δ = b^{2} - 4 a c$
$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Mal calculer le discriminant — Δ = b² − 4ac. Attention au signe : si b est négatif, b² est positif. Si ax² + bx + c n'est pas sous forme standard, remettre en ordre d'abord.

❌

Δ = 0 ⇒ une seule racine, pas deux — x = −b/(2a). Ne pas écrire deux racines identiques comme si c'était deux solutions distinctes.

❌

Oublier de mettre sous forme ax² + bx + c = 0 avant d'appliquer la formule — Tout doit être du même côté de l'équation.

🟢 Astuces de pros

✅

Relations de Viète pour vérifier : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Si les racines trouvées ne vérifient pas ces relations, il y a une erreur.

💡

Factorisation rapide : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Très utile pour résoudre les inéquations du 2ème degré ensuite.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Polynômes

Type 1 : Déterminer le degré et les coefficients

Quand ? On te donne un polynôme et on demande son degré, son coefficient dominant ou son terme constant.

Développe et réduis le polynôme (regroupe les termes de même puissance).
Le degré est la plus grande puissance de $x$ dont le coefficient est non nul.
Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré.
Le terme constant est $P (0)$ (le terme sans $x$ ).

Exemple éclair : $P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ est de degré $3$ , coefficient dominant $2$ , terme constant $1$ .

Type 2 : Calculer une image $P (a)$ et tester une racine

Quand ? On demande $P (a)$ ou de vérifier que $a$ est une racine de $P$ .

Remplace chaque $x$ par $a$ entre parenthèses.
Calcule les puissances d'abord, puis les produits, puis les sommes.
Si le résultat vaut $0$ , alors $a$ est une racine de $P$ .
Conclusion : $a$ racine $⟺ P (a) = 0 ⟺ (x - a)$ divise $P (x)$ .

Exemple éclair : $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , $P (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ donc $1$ est racine.

Type 3 : Factoriser par $(x - a)$ quand $a$ est racine

Quand ? Une racine évidente $a$ est connue (souvent $P (1) = 0$ ou $P (- 1) = 0$ ) et on veut factoriser.

Vérifie que $a$ est bien racine : $P (a) = 0$ .
Écris $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ où $Q$ a un degré de moins.
Trouve $Q (x)$ par division euclidienne ou par identification des coefficients.
Si possible, factorise encore $Q (x)$ (trinôme).

Exemple éclair : $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , racine $1$ : $P (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

Type 4 : Effectuer la division euclidienne de polynômes

Quand ? On demande le quotient et le reste de la division de $A (x)$ par $B (x)$ .

Range $A$ et $B$ par puissances décroissantes, sans oublier les termes manquants (coefficient $0$ ).
Divise le terme dominant de $A$ par celui de $B$ : premier terme du quotient.
Multiplie $B$ par ce terme, soustrais à $A$ , abaisse le reste.
Recommence tant que le degré du reste $\geq$ degré de $B$ .
Conclusion : $A = B \cdot Q + R$ avec $de g R < de g B$ .

Exemple éclair : $(x^{2} - 1) \div (x - 1)$ donne quotient $x + 1$ et reste $0$ .

Type 5 : Calculer le discriminant et les racines du trinôme

Quand ? Polynôme du second degré $a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ ; on cherche ses racines.

Identifie $a$ , $b$ , $c$ .
Calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle.

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6$ : $Δ = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 \pm 1}{2}$ , soit $2$ et $3$ .

Type 6 : Factoriser un trinôme du second degré

Quand ? On demande la forme factorisée de $a x^{2} + b x + c$ .

Calcule $Δ$ et les racines (Type 5).
Si deux racines $x_{1}, x_{2}$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Si racine double $x_{0}$ : $a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : le trinôme ne se factorise pas dans $R$ .
N'oublie jamais le facteur $a$ devant.

Exemple éclair : $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x - 3) (x + 1)$ (racines $3$ et $- 1$ ).

Type 7 : Étudier le signe du trinôme

Quand ? On demande le signe de $a x^{2} + b x + c$ selon $x$ , ou un tableau de signes.

Calcule $Δ$ .
Si $Δ > 0$ (deux racines) : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $- a$ entre les racines.
Si $Δ = 0$ : du signe de $a$ partout, sauf nul en $x_{0}$ .
Si $Δ < 0$ : toujours du signe de $a$ , jamais nul.
Dresse le tableau de signes pour conclure.

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ sur $] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ et $< 0$ sur $] 2; 3 [$ .

Type 8 : Utiliser somme et produit des racines

Quand ? On demande la somme/produit des racines, ou de trouver deux nombres connaissant leur somme et produit.

Pour $a x^{2} + b x + c$ : somme $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ , produit $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Vérifie d'abord que $Δ \geq 0$ (sinon pas de racines réelles).
Deux nombres de somme $S$ et produit $P$ sont les racines de $X^{2} - S X + P = 0$ .
Résous cette équation pour les trouver.

Exemple éclair : deux nombres de somme $5$ et produit $6$ : racines de $X^{2} - 5 X + 6$ , soit $2$ et $3$ .

Polynômes — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

Exercices Faciles

4 exercices

Développer et réduire

Facile

Énoncé

Développer et réduire :

$3 (x + 2) + 4 (x - 1)$
$(x + 1) (x + 3)$
$2 (x - 2)^{2} - x (x + 1)$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Degré et coefficient d'un polynôme

Facile

Énoncé

Donner le degré et le coefficient dominant de : P(x) = $3 x^{4} - 2 x^{2} + x - 5$
Calculer P(0), P(1) et P(-1) pour P(x) = $x^{2} - 3 x + 2$ .
Montrer que x = 2 est racine de Q(x) = $x^{2} - 5 x + 6$ .

Ma réponse

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Correction détaillée

Factorisation simple — mise en facteur

Facile

Énoncé

Factoriser en mettant en évidence le facteur commun :

$6 x^{2} + 9 x$
$4 a^{2} b - 8 a b^{2}$
$3 (x + 1) - x (x + 1)$
$2 x^{2} - 5 x - 3$ (chercher les racines puis factoriser)

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Valeur d'un polynôme

Facile

Énoncé

Soit $P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ .

Calculer $P (0)$ , $P (1)$ , $P (2)$ et $P (- 1)$ .
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P (x) = 0$ ? (Factoriser $P (x)$ )
Est-ce que $x = \frac{1}{2}$ est racine de $P (x)$ ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

5 exercices

Utiliser les identités remarquables

Intermédiaire

Énoncé

Développer : $(x + 2)^{2}$
Développer : $(x - 3)^{2}$
Développer : $(x + 4) (x - 4)$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Factoriser

Intermédiaire

Énoncé

Factoriser : $2 x + 4$
Factoriser : $x^{2} - 9$
Factoriser : $x^{2} + 4 x + 4$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Développer des expressions

Intermédiaire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(2 x + 3)^{2}$
$(3 x - 2)^{2}$
$(x + 5) (x - 5)$
$(2 x + 1) (3 x - 2)$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

$9 x^{2} - 16$
$x^{2} - 10 x + 25$
$4 x^{2} + 12 x + 9$
$3 x^{2} - 27$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Identités remarquables niveau 2AC

Intermédiaire

Énoncé

Développer puis réduire :

$(3 x + 1)^{2} - (3 x - 1)^{2}$
$(x + 2) (x - 2) - (x - 1)^{2}$
$(a + b)^{2} - 2 (a + b) + 1$ (factoriser le résultat)

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

5 exercices

Simplifier des fractions algébriques

Difficile

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et/ou le dénominateur :

$x^{2} - 4$ / $x - 2$
$x^{2} - 9$ / $x + 3$
$x^{2} + 4 x + 4$ / $x + 2$
Résoudre l'équation : $\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 0$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Application des identités remarquables

Difficile

Énoncé

Calculer $9 9^{2}$ en utilisant l'identité $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Calculer $51 \times 49$ en utilisant l'identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Factoriser entièrement : $2 x^{3} - 8 x$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Équation du second degré par factorisation

Difficile

Énoncé

Résoudre en factorisant :

$x^{2} - x - 6 = 0$
$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$
$x^{2} - 9 = 0$

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Problème avec polynôme

Difficile

Énoncé

Un rectangle a une longueur de $(x + 5)$ cm et une largeur de $(x - 2)$ cm. Exprimer l'aire $A (x)$ en fonction de $x$ . Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle 24 cm² ?
Factoriser complètement : $3 x^{2} - 12$ puis résoudre $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Problème — polynôme et aire

Difficile

Énoncé

Un carré de côté $x$ cm est élargi : sa longueur augmente de 3 cm et sa largeur augmente de 2 cm, formant un rectangle.

Exprimer l'aire du rectangle $A (x)$ en développant.
De combien l'aire augmente-t-elle par rapport au carré initial ?
Pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle est-elle le double de l'aire du carré ?

Ma réponse

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Correction détaillée

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Opérations sur les polynômes

Racines d'un polynôme

Polynôme du second degré : ax2+bx+c

Factorisation

Relations entre coefficients et racines

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Polynômes

Type 1 : Déterminer le degré et les coefficients

Type 2 : Calculer une image P(a) et tester une racine

Type 3 : Factoriser par (x−a) quand a est racine

Type 4 : Effectuer la division euclidienne de polynômes

Type 5 : Calculer le discriminant et les racines du trinôme

Type 6 : Factoriser un trinôme du second degré

Type 7 : Étudier le signe du trinôme

Type 8 : Utiliser somme et produit des racines

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Factoriser

Développer des expressions

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Identités remarquables niveau 2AC

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Application des identités remarquables

Équation du second degré par factorisation

Problème avec polynôme

Problème — polynôme et aire

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Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Polynôme du second degré : $a x^{2} + b x + c$

Type 2 : Calculer une image $P (a)$ et tester une racine

Type 3 : Factoriser par $(x - a)$ quand $a$ est racine