Arithmétique dans ℕ — Résumé de cours

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Arithmétique dans $N$

L'arithmétique étudie les nombres entiers naturels et leurs propriétés, notamment les relations de divisibilité. Ce chapitre constitue la base du raisonnement sur les entiers.

1. Divisibilité dans $N$

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b \neq = 0$ . On dit que $b$ divise $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$ ) s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = b \times k$ . On note alors $b ∣ a$ .

On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ . Par exemple $3 ∣ 12$ car $12 = 3 \times 4$ .

Propriété

Pour tous entiers naturels $a$ , $b$ , $c$ :

$1 ∣ a$ et $a ∣ a$ (tout entier non nul se divise lui-même) ;
Si $a ∣ b$ et $b ∣ c$ alors $a ∣ c$ (transitivité) ;
Si $a ∣ b$ et $a ∣ c$ alors $a ∣ (b + c)$ et $a ∣ (b - c)$ pour $b \geq c$ ;
Si $a ∣ b$ alors $a ∣ (k \times b)$ pour tout entier $k$ .

2. La division euclidienne

Définition

Soient $a$ un entier naturel et $b$ un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d'entiers naturels $(q, r)$ tel que :

a = b \times q + r avec 0 \leq r < b

$a$ est le dividende, $b$ le diviseur, $q$ le quotient et $r$ le reste.

Lorsque $r = 0$ , la division est exacte : $b ∣ a$ .

3. Critères de divisibilité

Propriété

Un entier naturel est divisible :

par 2 si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ (nombre pair) ;
par 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par 10 si son chiffre des unités est $0$ ;
par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Exemple : $738$ est divisible par $9$ car $7 + 3 + 8 = 18$ et $9 ∣ 18$ .

4. Les nombres premiers

Définition

Un entier naturel $p$ est premier s'il est supérieur ou égal à $2$ et s'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Les premiers nombres premiers sont : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$ Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair. Le nombre $1$ n'est pas premier.

Pour vérifier qu'un nombre $n$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers $p$ tels que $p \times p \leq n$ (c'est-à-dire $p \leq n$ ).

5. Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété

Tout entier naturel $n \geq 2$ se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de facteurs premiers.

Méthode : on divise successivement par les nombres premiers croissants ( $2$ , puis $3$ , $5$ , $7$ , …) jusqu'à obtenir $1$ .

6. PGCD et algorithme d'Euclide

Définition

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$ . On le note $PGCD (a, b)$ ou $a \land b$ .

Propriété (algorithme d'Euclide)

Pour $a > b$ , le PGCD ne change pas si l'on remplace $a$ par le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ . On répète jusqu'à obtenir un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD.

PGCD (a, b) = PGCD (b, r) o \overset{u}{ˋ} r est le reste de a \div b

7. PPCM et relation fondamentale

Définition

Le PPCM de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ est le plus petit entier strictement positif qui est à la fois multiple de $a$ et de $b$ . On le note $PPCM (a, b)$ ou $a \lor b$ .

Propriété (relation fondamentale)

PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = a \times b

Cette relation permet de calculer le PPCM à partir du PGCD : $PPCM (a, b) = \frac{a \times b}{PGCD ( a , b )}$ .

8. Nombres premiers entre eux et fraction irréductible

Définition

Deux entiers naturels $a$ et $b$ sont premiers entre eux si $PGCD (a, b) = 1$ .

Définition

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire $PGCD (a, b) = 1$ . On rend une fraction irréductible en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.

9. Exemples résolus

Exemple 1 : Algorithme d'Euclide

Calculons $PGCD (252, 105)$ .

$252 = 105 \times 2 + 42$
$105 = 42 \times 2 + 21$
$42 = 21 \times 2 + 0$

Le dernier reste non nul est $21$ , donc $PGCD (252, 105) = 21$ .

On en déduit le PPCM : $PPCM (252, 105) = \frac{252 \times 105}{21} = \frac{26460}{21} = 1260$ .

Exemple 2 : Décomposition en facteurs premiers

Décomposons $360$ en produit de facteurs premiers.

$360 = 2 \times 180$
$180 = 2 \times 90$
$90 = 2 \times 45$
$45 = 3 \times 15$
$15 = 3 \times 5$

Donc :

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Exemple 3 : Fraction irréductible

Rendons $\frac{252}{105}$ irréductible. On a vu que $PGCD (252, 105) = 21$ , donc :

\frac{252}{105} = \frac{252 \div 21}{105 \div 21} = \frac{12}{5}

Comme $PGCD (12, 5) = 1$ , la fraction $\frac{12}{5}$ est irréductible.

🔑 Formules clés à retenir

$b ∣ a ⟺ \exists k \in N, a = b \times k$ — définition de la divisibilité
$a = b \times q + r avec 0 \leq r < b$ — division euclidienne de $a$ par $b$
$a ∣ b et b ∣ c ⟹ a ∣ c$ — transitivité de la divisibilité
$a ∣ b et a ∣ c ⟹ a ∣ (b + c)$ — divisibilité d'une somme
$2 ∣ n ⟺$ chiffre des unités $\in {0, 2, 4, 6, 8}$ — critère par 2
$5 ∣ n ⟺$ chiffre des unités $\in {0, 5}$ — critère par 5
$10 ∣ n ⟺$ chiffre des unités $= 0$ — critère par 10
$3 ∣ n ⟺ 3 ∣ (somme des chiffres)$ — critère par 3
$9 ∣ n ⟺ 9 ∣ (somme des chiffres)$ — critère par 9
$n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}$ — décomposition en facteurs premiers
$PGCD (a, b) = PGCD (b, r)$ — étape de l'algorithme d'Euclide ( $r$ reste de $a \div b$ )
$PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = a \times b$ — relation fondamentale
$PPCM (a, b) = \frac{a \times b}{PGCD ( a , b )}$ — calcul du PPCM
$a et b premiers entre eux ⟺ PGCD (a, b) = 1$ — nombres premiers entre eux
$\frac{a}{b} irr \overset{e}{ˊ} ductible ⟺ PGCD (a, b) = 1$ — fraction irréductible

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

❌

Erreur : croire que $1$ est un nombre premier. Faux : un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, or $1$ n'en a qu'un seul. Le plus petit nombre premier est $2$ .

❌

Erreur : oublier la condition $0 \leq r < b$ dans la division euclidienne. Si le reste est supérieur ou égal au diviseur, le calcul est faux : il faut continuer à diviser.

❌

Erreur : confondre PGCD et PPCM. Le PGCD est le plus grand diviseur commun (il est petit, $\leq a$ et $\leq b$ ) ; le PPCM est le plus petit multiple commun (il est grand, $\geq a$ et $\geq b$ ).

✅

Pour rendre une fraction irréductible d'un coup, divise numérateur et dénominateur par leur PGCD plutôt que de simplifier par petites étapes successives.

✅

L'algorithme d'Euclide est plus rapide que la décomposition en facteurs premiers pour les grands nombres : enchaîne les divisions jusqu'à un reste nul, le dernier reste non nul est le PGCD.

💡

Pour tester si un nombre $n$ est premier, ne teste que les diviseurs premiers $p$ tels que $p \leq n$ . Par exemple pour $n = 97$ , comme $97 < 10$ , il suffit de tester $2, 3, 5, 7$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Arithmétique dans ℕ

Type 1 : Étudier la divisibilité d'un entier

Quand ? On demande si un nombre est divisible par un autre, ou de citer ses diviseurs.

Rappelle que $a$ divise $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$ .
Utilise les critères usuels : par $2$ (chiffre pair), par $3$ (somme des chiffres divisible par $3$ ), par $5$ (finit par $0$ ou $5$ ), par $9$ (somme des chiffres divisible par $9$ ).
Pour lister les diviseurs : teste $1, 2, 3, \dots$ jusqu'à $b$ et associe chaque diviseur à son complémentaire.
N'oublie pas que $1$ et le nombre lui-même sont toujours diviseurs.

Exemple éclair : $342$ : somme des chiffres $3 + 4 + 2 = 9$ divisible par $3$ et $9$ , donc $342$ est divisible par $3$ et par $9$ .

Type 2 : Effectuer une division euclidienne

Quand ? On demande le quotient et le reste de la division de $a$ par $b$ .

Cherche le plus grand multiple de $b$ inférieur ou égal à $a$ .
Écris $a = b \times q + r$ où $q$ est le quotient et $r$ le reste.
Vérifie impérativement que $0 ⩽ r < b$ .
Contrôle en recalculant $b \times q + r$ : tu dois retrouver $a$ .

Exemple éclair : $47$ par $5$ : $47 = 5 \times 9 + 2$ , donc quotient $q = 9$ et reste $r = 2$ (avec $0 ⩽ 2 < 5$ ).

Type 3 : Reconnaître un nombre premier

Quand ? On demande si un entier $n > 1$ est premier.

Rappelle qu'un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Teste la divisibilité par les nombres premiers croissants : $2, 3, 5, 7, 11, \dots$
Arrête-toi dès que le diviseur testé dépasse $n$ .
Si aucun ne divise $n$ , alors $n$ est premier ; sinon il est composé.

Exemple éclair : $97$ : $97 \approx 9, 8$ , on teste $2, 3, 5, 7$ : aucun ne divise $97$ , donc $97$ est premier.

Type 4 : Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

Quand ? On demande la décomposition d'un nombre, souvent pour calculer ensuite un PGCD ou un PPCM.

Divise le nombre par le plus petit premier possible ( $2$ , puis $3$ , $5$ , $7$ ...).
Recommence sur le quotient obtenu, encore et encore.
Continue jusqu'à obtenir $1$ .
Écris le résultat sous forme de produit de puissances de nombres premiers.

Exemple éclair : $360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = \dots$ ce qui donne $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ .

Type 5 : Calculer le PGCD de deux entiers

Quand ? On cherche le plus grand diviseur commun à deux nombres (simplifier, partager équitablement).

Méthode 1 (décomposition) : décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis prends les facteurs COMMUNS avec le plus PETIT exposant.
Méthode 2 (algorithme d'Euclide) : remplace $pgcd (a, b)$ par $pgcd (b, r)$ où $r$ est le reste de $a$ par $b$ .
Répète jusqu'à un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut $1$ .

Exemple éclair : $pgcd (48, 36)$ : $48 = 36 \times 1 + 12$ , puis $36 = 12 \times 3 + 0$ , donc $pgcd (48, 36) = 12$ .

Type 6 : Calculer le PPCM de deux entiers

Quand ? On cherche le plus petit multiple commun (problèmes de cycles, rendez-vous périodiques).

Méthode 1 (décomposition) : décompose en facteurs premiers, puis prends TOUS les facteurs présents avec le plus GRAND exposant.
Méthode 2 (relation) : utilise $ppcm (a, b) = \frac{a \times b}{pgcd ( a , b )}$ .
Calcule d'abord le PGCD si tu utilises la relation.
Vérifie que le résultat est bien un multiple des deux nombres.

Exemple éclair : $ppcm (48, 36) = \frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$ .

Type 7 : Résoudre un problème concret (PGCD ou PPCM ?)

Quand ? Un énoncé en mots (partager, regrouper, synchroniser) où il faut choisir le bon outil.

Si on PARTAGE / DÉCOUPE en parts égales le plus grand possible $\Rightarrow$ PGCD.
Si on cherche un évènement qui se REPRODUIT ensemble, le plus petit moment commun $\Rightarrow$ PPCM.
Traduis l'énoncé : repère les deux nombres en jeu.
Calcule l'outil choisi, puis réponds dans le contexte de l'énoncé (avec les unités).

Exemple éclair : Deux phares clignotent toutes les $48$ s et $36$ s : ils clignotent ensemble toutes les $ppcm (48, 36) = 144$ s.

Arithmétique dans ℕ — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

10 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

2 exercices

Produit de quatre entiers consécutifs

Facile

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in N$ , le nombre $n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$ est un multiple de $4$ .
Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 2010$ ?

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
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Correction détaillée

Quotients entiers de fractions

Facile

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel.

Vérifier que $\frac{n + 7}{n + 1} = 1 + \frac{6}{n + 1}$ .
Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $\frac{n + 7}{n + 1} \in N$ .
Déterminer les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $\frac{3 n + 28}{n + 4} \in N$ .

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Prof Hicham

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Exercices Intermédiaires

5 exercices

Parité et multiple de 40

Intermédiaire

Énoncé

On pose $a = 6 n + 11$ et $b = 2 n + 4$ , avec $n \in N$ .

Étudier la parité des nombres $a$ et $b$ .
En déduire la parité de l'entier $c$ défini par $c = (6 n + 11) (- 1)^{b} + (2 n + 3) (- 1)^{a}$ .
Montrer que le nombre $(a + 1)^{2} + b^{2}$ est un multiple de $40$ .

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Prof Hicham

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Correction détaillée

Factorisation et multiple de 4

Intermédiaire

Énoncé

Soit $n \in N$ .

Étudier la parité de l'entier $n^{2} + 3 n + 4$ .
Développer et réduire l'expression $(n^{2} + n) (n^{2} + 3 n + 4)$ .
En déduire que $n^{4} + 4 n^{3} + 7 n^{2} + 4 n$ est un multiple de $4$ .

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Correction détaillée

Nombre premier, PGCD et PPCM (240 et 2022)

Intermédiaire

Énoncé

Vérifier que $337$ est un nombre premier.
Décomposer $a = 240$ et $b = 2022$ en produit de facteurs premiers.
En déduire $pgcd (a; b)$ et $ppcm (a; b)$ .
Simplifier $240 \times 2022$ .

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Décomposition, racine entière et fraction irréductible

Intermédiaire

Énoncé

On pose $a = 2160$ et $b = 4860$ .

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $a$ et $b$ .
En déduire $pgcd (a; b)$ et $ppcm (a; b)$ .
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $a^{3} \times b^{2}$ .
Montrer que $a \times b$ est un entier naturel.
Écrire $\frac{a}{b}$ sous forme de fraction irréductible.

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Multiples et puissances de 7

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout $n \in N$ , on pose $a = 7^{n + 2} - 7^{n}$ et $b = 3 \times 7^{n + 1} + 5 \times 7^{n}$ .

Montrer que $a$ est un multiple de $3$ et que $b$ est un multiple de $13$ .
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $a$ et $b$ .
En déduire $pgcd (a; b)$ et $ppcm (a; b)$ .

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Exercices Difficiles

3 exercices

Divisibilité par 8 et 16

Difficile

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel impair.
1. Montrer que $n^{2} - 1$ est divisible par $8$ .
2. En déduire que $16$ divise $n^{4} - 1$ .
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels impairs. Montrer que $16$ divise $a^{4} + b^{4} - 2$ .

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Équations diophantiennes par factorisation

Difficile

Énoncé

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels. Montrer que $x + y$ et $x - y$ sont de même parité.
Déterminer les diviseurs de $28$ .
Déterminer tous les couples $(x; y)$ d'entiers naturels vérifiant $x^{2} - y^{2} = 28$ .
Déterminer tous les couples $(m; n)$ d'entiers naturels tels que $mn + 3 m + 2 n = 28$ .

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Différence de carrés et PGCD imposé

Difficile

Énoncé

Déterminer les entiers naturels $x$ et $y$ vérifiant $x^{2} - y^{2} = 51$ .
Déterminer tous les couples $(a; b)$ d'entiers naturels tels que $a^{2} - b^{2} = 7344$ et $a \land b = 12$ .

Ma réponse

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1. Divisibilité dans N

Définition

Propriété

2. La division euclidienne

Définition

3. Critères de divisibilité

Propriété

4. Les nombres premiers

Définition

5. Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété

6. PGCD et algorithme d'Euclide

Définition

Propriété (algorithme d'Euclide)

7. PPCM et relation fondamentale

Définition

Propriété (relation fondamentale)

8. Nombres premiers entre eux et fraction irréductible

Définition

Définition

9. Exemples résolus

Exemple 1 : Algorithme d'Euclide

Exemple 2 : Décomposition en facteurs premiers

Exemple 3 : Fraction irréductible

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Type 1 : Étudier la divisibilité d'un entier

Type 2 : Effectuer une division euclidienne

Type 3 : Reconnaître un nombre premier

Type 4 : Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

Type 5 : Calculer le PGCD de deux entiers

Type 6 : Calculer le PPCM de deux entiers

Type 7 : Résoudre un problème concret (PGCD ou PPCM ?)

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Exercices Faciles

Produit de quatre entiers consécutifs

Quotients entiers de fractions

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Factorisation et multiple de 4

Nombre premier, PGCD et PPCM (240 et 2022)

Décomposition, racine entière et fraction irréductible

Multiples et puissances de 7

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