Statistiques descriptives — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Chapitre 9 : Statistiques descriptives

I. Vocabulaire

Population : ensemble étudié. Individu : élément de la population.
Caractère : propriété observée. Modalité : valeur du caractère.
Effectif $n_{i}$ : nombre d'individus ayant la modalité i. Effectif total $N = Σ n_{i}$
Fréquence $f_{i} = n_{i} / N$ (en %) ou

f_{i} = n_{i} / N

(en décimal).

II. Indicateurs de position

Moyenne :

\overline{x} = (Σ n_{i} x_{i}) / N

Médiane : valeur qui partage la série en deux moitiés égales
Mode : valeur de plus grand effectif

III. Données groupées par classes

Pour des données groupées en classes

[a_{i}, a_{i + 1} [

d'amplitude

h

:
Milieu de classe :

c_{i} = (a_{i} + a_{i + 1}) /2

Moyenne :

\overline{x} = Σ (n_{i} \times c_{i}) / N

IV. Indicateurs de dispersion

Étendue :

e = max - min

Quartile $Q_{1}$ : 25% des données en-dessous. $Q_{3}$ : 75% en-dessous.
Variance :

V = Σ n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} / N

Écart-type :

σ = V

🔑 Formules clés à retenir

Fréquence : $f_{i} = n_{i} / N$
Moyenne : $\overline{x} = Σ (n_{i} x_{i}) / N$
Étendue : max − min
Variance : $V = Σ n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2} / N$
Écart-type : $σ = V$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Variance ≠ écart-type — La variance $V$ est en unités au carré (ex: cm²). L'écart-type $σ = V$ est dans les mêmes unités que les données (ex: cm). Toujours prendre la racine pour $σ$ .

❌

Diviser par le nombre de valeurs distinctes, pas par l'effectif total — Si la valeur 5 apparaît 3 fois, compter 3 dans $N$ , pas 1.

❌

Médiane d'une série groupée ≠ milieu de la liste — Pour $N$ pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales après tri.

🟢 Astuces de pros

✅

Formule alternative de la variance : $V = \frac{Σ ( n _{i} x _{i}^{2} )}{N} - \overline{x}^{2}$ . Souvent plus rapide à calculer que la formule avec $(x_{i} - \overline{x})^{2}$ .

💡

Un écart-type faible signifie que les données sont groupées autour de la moyenne. Un écart-type élevé signifie une grande dispersion.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Statistiques descriptives

Type 1 : Construire un tableau d'effectifs et de fréquences

Quand ? On te donne une série brute de valeurs (notes, tailles...) et on demande d'organiser les données.

Repère toutes les valeurs distinctes $x_{i}$ et range-les dans l'ordre croissant.
Compte combien de fois chaque valeur apparaît : c'est l'effectif $n_{i}$ .
Calcule l'effectif total $N = \sum n_{i}$ .
Calcule chaque fréquence $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ (et le pourcentage $f_{i} \times 100$ ).
Vérifie le contrôle : $\sum f_{i} = 1$ (soit $100%$ ).

Exemple éclair : Notes $5, 7, 5, 7, 7$ : pour $x = 7$ , $n = 3$ , $N = 5$ , donc $f = \frac{3}{5} = 0, 6 = 60%$ .

Type 2 : Calculer la moyenne d'une série

Quand ? On demande la valeur moyenne $\overset{x}{ˉ}$ d'une série, donnée brute ou en tableau d'effectifs.

Si la série est brute : additionne toutes les valeurs et divise par le nombre de valeurs.
Si la série est en tableau : utilise $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}$ .
Pour des classes $[a, b [$ , prends le centre $c_{i} = \frac{a + b}{2}$ comme valeur, puis applique la même formule avec $c_{i}$ .
Calcule d'abord chaque produit $n_{i} x_{i}$ , fais la somme, puis divise par $N$ .

Exemple éclair : Valeurs $10, 12, 12, 14$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{10 + 12 + 12 + 14}{4} = \frac{48}{4} = 12$ .

Type 3 : Déterminer le mode et l'étendue

Quand ? On demande la valeur la plus fréquente ou la dispersion brute de la série.

Pour le mode : repère la valeur $x_{i}$ ayant le plus grand effectif $n_{i}$ .
Pour des classes : la classe modale est celle de plus grand effectif.
Pour l'étendue : repère la plus grande valeur et la plus petite valeur.
Calcule l'étendue $= x_{m a x} - x_{m i n}$ .

Exemple éclair : Série $3, 5, 5, 8$ : le mode est $5$ (le plus fréquent), l'étendue $= 8 - 3 = 5$ .

Type 4 : Déterminer la médiane

Quand ? On demande la valeur qui partage la série en deux moitiés égales.

Range toutes les valeurs dans l'ordre croissant (en répétant selon les effectifs).
Compte le nombre total $N$ de valeurs.
Si $N$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ .
Si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .
Aide-toi des effectifs cumulés croissants pour situer le rang cherché.

Exemple éclair : Série $2, 4, 6, 8$ ( $N = 4$ pair) : médiane $= \frac{4 + 6}{2} = 5$ .

Type 5 : Calculer la variance et l'écart-type

Quand ? On demande de mesurer la dispersion autour de la moyenne.

Calcule d'abord la moyenne $\overset{x}{ˉ}$ .
Applique la variance $V = \frac{1}{N} \sum n_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ .
Ou utilise la formule pratique $V = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ (souvent plus rapide).
Calcule l'écart-type $σ = V$ .
Vérifie que $V ⩾ 0$ : une variance négative signale une erreur.

Exemple éclair : Valeurs $4, 6$ : $\overset{x}{ˉ} = 5$ , $V = \frac{( 4 - 5 ) ^{2} + ( 6 - 5 ) ^{2}}{2} = 1$ , donc $σ = 1 = 1$ .

Type 6 : Lire et construire un graphique statistique

Quand ? On demande un diagramme en bâtons, un histogramme ou un diagramme circulaire.

Diagramme en bâtons (valeurs discrètes) : un bâton par valeur $x_{i}$ de hauteur $n_{i}$ .
Histogramme (classes) : rectangles dont la hauteur (ou l'aire) est proportionnelle à l'effectif.
Diagramme circulaire : chaque secteur a un angle $α_{i} = f_{i} \times 36 0^{\circ}$ .
Vérifie que la somme des angles fait bien $36 0^{\circ}$ .
N'oublie pas le titre, les axes gradués et la légende.

Exemple éclair : Si $f_{i} = 25%$ , l'angle du secteur est $α_{i} = 0, 25 \times 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

Type 7 : Utiliser les effectifs et fréquences cumulés

Quand ? On demande "combien de valeurs sont inférieures à..." ou de tracer la courbe cumulative.

Range les valeurs (ou classes) dans l'ordre croissant.
Effectif cumulé croissant : additionne progressivement les effectifs ligne par ligne.
Fréquence cumulée croissante : additionne progressivement les fréquences.
Le dernier effectif cumulé doit valoir $N$ et la dernière fréquence cumulée $1$ .
Pour une question "au moins / au plus", lis directement la ligne cumulée correspondante.

Exemple éclair : Effectifs $2, 3, 5$ : cumulés $2, 5, 10$ , donc $5$ valeurs sont au plus égales à la 2e modalité.

Statistiques descriptives — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

55 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

22 exercices

Calcul de la moyenne

Facile

Énoncé

Dans une classe de 5 élèves, les notes en mathématiques sont les suivantes : 12, 14, 16, 10, 18. Calcule la moyenne des notes.

Ma réponse

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II. Indicateurs de position

III. Données groupées par classes

IV. Indicateurs de dispersion

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Statistiques descriptives

Type 1 : Construire un tableau d'effectifs et de fréquences

Type 2 : Calculer la moyenne d'une série

Type 3 : Déterminer le mode et l'étendue

Type 4 : Déterminer la médiane

Type 5 : Calculer la variance et l'écart-type

Type 6 : Lire et construire un graphique statistique

Type 7 : Utiliser les effectifs et fréquences cumulés

Statistiques descriptives — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calcul de la moyenne

Effectifs et Fréquences

Calcul de la Moyenne

Calcul de l'Étendue

Fréquences cumulées

Calcul de la moyenne

Fréquence d'une modalité

Fréquence d'une modalité

Médiane d'une série

Calcul de la moyenne

Détermination du mode

Fréquence d'une modalité

Étendue d'une série

Calcul de la moyenne

Calcul de l'étendue

Calcul de la médiane

Détermination du mode

Fréquence d'une modalité

Effectifs et fréquences

Histogramme et polygone des fréquences

Calculer la moyenne

Médiane et mode

Exercices Intermédiaires

Médiane d'un Ensemble

Variance et Écart-type

Étendue d'une série

Calcul de la variance

Quartiles d'une série

Écart-type d'une série

Calcul de la médiane

Moyenne des données groupées

Variance et écart-type

Calcul de la variance

Calcul de l'étendue

Calcul de la variance

Coefficient de variation

Corrélation linéaire simple

Données à double entrée

Données groupées par classes

Quartiles et boîte à moustaches

Variance et écart-type

Exercices Difficiles

Données Groupées par Classes

Résolution d'un Problème de Fréquences

Problème de Répartition des Notes

Problème concret avec écart-type

Problème concret avec classes

Problème concret de fréquence

Analyse de données groupées

Problème de dispersion

Problème concret avec des données groupées

Droite de régression (moindres carrés)

Population et échantillonnage

Application économique — indice et régression

Comparer deux séries