Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

Chapitre 10 : Suites numériques

I. Généralités

Une suite numérique (

u_{n}

) est une fonction de

N

dans

R

.
Définition explicite :

u_{n} = f (n)

(formule directe)
Définition par récurrence :

u_{0}

donné,

u_{n + 1} = g (u_{n})

II. Suites arithmétiques

Suite arithmétique de raison

r

: $u_{n + 1} = u_{n} + r$
Terme général : $u_{n} = u_{0} + n \times r$
Somme : $S = \frac{( u _{0} + u _{n} ) \times ( n + 1 )}{2}$
Sens de variation : croissante si

r > 0

, décroissante si

r < 0

III. Suites géométriques

Suite géométrique de raison

q

(

q \neq = 0

) : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$
Terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Somme ( $q \neq = 1$ ) : $S = \frac{u _{0} \times ( 1 - q ^{n + 1} )}{1 - q}$

📈 Figure clé

Suite géométrique

🔑 Formules clés à retenir

Arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ , $r = u_{n + 1} - u_{n}$
Somme arith : $S = \frac{( u _{0} + u _{n} ) ( n + 1 )}{2}$
Géométrique : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ , $q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
Somme géom : $S = \frac{u _{0} ( 1 - q ^{n + 1} )}{1 - q}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

$u_{n} = u_{0} + n r$ , pas $u_{1} + n r$ — Si l'indice de départ est 0, $u_{n} = u_{0} + n r$ . Si la suite commence à $u_{1}$ , alors $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ . Bien identifier le premier terme et son indice.

❌

Somme de n+1 termes, pas n — La somme $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ comporte n+1 termes (de l'indice 0 à n inclus). Formule : $S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$ .

❌

Suite géométrique : ne pas diviser par q si q peut être nul — La raison q d'une suite géométrique est toujours non nulle par définition.

🟢 Astuces de pros

✅

Identifier le type de suite : calculer $u_{1} - u_{0}$ , $u_{2} - u_{1}$ . Si la différence est constante → arithmétique (raison r). Calculer $\frac{u _{1}}{u _{0}}$ , $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ . Si le quotient est constant → géométrique (raison q).

💡

Pour la somme géométrique, factoriser $u_{0}$ : $S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . Vérifier : si $q = 1$ , la somme vaut $(n + 1) u_{0}$ .

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Suites numériques

Type 1 : Calculer les premiers termes d'une suite

Quand ? On donne une suite par une formule explicite $u_{n} = f (n)$ ou par une relation de récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Repère la nature : explicite (on remplace $n$ ) ou récurrente (on a besoin du terme précédent).
Si explicite : remplace $n$ par $0, 1, 2, \dots$ directement dans la formule.
Si récurrente : pars du premier terme donné, puis calcule chaque terme à partir du précédent.
Écris proprement $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots$ avec les calculs.

Exemple éclair : Si $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ : $u_{1} = 2 \times 1 + 3 = 5$ , puis $u_{2} = 2 \times 5 + 3 = 13$ .

Type 2 : Étudier le sens de variation d'une suite

Quand ? On demande si la suite est croissante ou décroissante.

Méthode du signe de la différence : calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ et étudie son signe.
Si $u_{n + 1} - u_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ : la suite est croissante ; si $⩽ 0$ : décroissante.
Si les termes sont strictement positifs : compare le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .
Si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1$ : croissante ; si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} < 1$ : décroissante.
Conclus clairement pour tout entier $n$ .

Exemple éclair : $u_{n} = n^{2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1 > 0$ , donc la suite est croissante.

Type 3 : Reconnaître une suite arithmétique

Quand ? On passe d'un terme au suivant en AJOUTANT toujours le même nombre.

Calcule la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ pour plusieurs valeurs de $n$ .
Si cette différence est CONSTANTE, la suite est arithmétique de raison $r = u_{n + 1} - u_{n}$ .
Identifie le premier terme (souvent $u_{0}$ ou $u_{1}$ ).
Utilise le terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ).

Exemple éclair : $3, 7, 11, 15$ : différence constante $r = 4$ , donc $u_{n} = 3 + 4 n$ (avec $u_{0} = 3$ ).

Type 4 : Reconnaître une suite géométrique

Quand ? On passe d'un terme au suivant en MULTIPLIANT toujours par le même nombre.

Calcule le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ pour plusieurs valeurs de $n$ .
Si ce rapport est CONSTANT, la suite est géométrique de raison $q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ .
Identifie le premier terme.
Utilise le terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ ).

Exemple éclair : $2, 6, 18, 54$ : rapport constant $q = 3$ , donc $u_{n} = 2 \times 3^{n}$ (avec $u_{0} = 2$ ).

Type 5 : Calculer un terme de rang donné

Quand ? On demande $u_{20}$ , $u_{100}$ ... sans calculer tous les termes intermédiaires.

Identifie le type de suite (arithmétique ou géométrique) et sa raison.
Écris le terme général adapté.
Remplace $n$ par le rang demandé.
Effectue le calcul (attention aux puissances pour le géométrique).

Exemple éclair : Suite arithmétique $u_{0} = 5$ , $r = 2$ : $u_{10} = 5 + 2 \times 10 = 25$ .

Type 6 : Calculer la somme de termes consécutifs

Quand ? On demande $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ d'une suite arithmétique ou géométrique.

Compte le nombre de termes : de $u_{0}$ à $u_{n}$ il y a $n + 1$ termes.
Arithmétique : $S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$ .
Géométrique (raison $q \neq = 1$ ) : $S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Vérifie le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes avant de calculer.

Exemple éclair : $1 + 2 + \dots + 10$ : $10$ termes, $S = 10 \times \frac{1 + 10}{2} = 55$ .

Type 7 : Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique

Quand ? On définit une nouvelle suite $v_{n}$ à partir de $u_{n}$ et on demande de prouver sa nature.

Pour prouver "arithmétique" : calcule $v_{n + 1} - v_{n}$ et montre que c'est une constante.
Pour prouver "géométrique" : calcule $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}$ et montre que c'est une constante.
Remplace $v_{n + 1}$ par son expression puis simplifie soigneusement.
Conclus en donnant la raison et le premier terme.

Exemple éclair : Si $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ avec $u_{n} = n^{2}$ : $v_{n + 1} - v_{n} = 2$ constante, donc $v_{n}$ est arithmétique de raison $2$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

52 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

16 exercices

Suite arithmétique simple

Facile

Énoncé

Dans une ferme à Marrakech, le fermier a 10 poules au départ. Chaque mois, il achète 3 poules de plus. Quelle sera le nombre de poules après 5 mois ?

Ma réponse

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Type 2 : Étudier le sens de variation d'une suite

Type 3 : Reconnaître une suite arithmétique

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Type 5 : Calculer un terme de rang donné

Type 6 : Calculer la somme de termes consécutifs

Type 7 : Montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Suite arithmétique simple

Calcul d'une suite arithmétique

Suite géométrique simple

Problème avec une suite géométrique

Suite géométrique : calcul d'un terme

Type de variation d'une suite arithmétique

Calculer le terme d'une suite arithmétique

Suite géométrique simple

Calcul du terme d'une suite géométrique

Démonstration d'une suite géométrique

Calcul d'un terme d'une suite arithmétique

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

Détermination de la raison d'une suite arithmétique

Identifier une suite arithmétique

Terme général et calcul

Suite géométrique

Exercices Intermédiaires

Somme des termes d'une suite géométrique

Démonstration d'une suite arithmétique

Problème pratique avec suite arithmétique

Détermination d'une suite géométrique

Problème de variation d'une suite arithmétique

Somme des termes d'une suite arithmétique

Démonstration d'une suite géométrique

Problème de suite géométrique

Calcul d'un terme d'une suite arithmétique

Calcul d'un terme d'une suite géométrique

Résolution d'une suite arithmétique

Application d'une suite géométrique

Suite de Fibonacci

Limite d'une suite géométrique

Somme de termes d'une suite arithmétique

Placement bancaire — suite géométrique

Sens de variation

Exercices Difficiles

Démonstration d'une propriété de suite arithmétique

Démonstration d'une somme de suite géométrique

Problème concret avec une suite arithmétique

Problème concret avec une suite géométrique

Résolution d'une équation de suite arithmétique

Problème de suite géométrique avec taux d'intérêt

Problème complexe de suite géométrique

Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique

Application d'une suite arithmétique dans un problème réel

Démonstration de convergence d'une suite géométrique

Étude d'une suite géométrique

Raisonnement par récurrence

Suite arithmético-géométrique

Convergence — suite monotone bornée

Remboursement d'emprunt

Suite imbriquée (encadrement)

Suite définie par récurrence

Trouver les termes connaissant la somme

Modélisation — population

Exercices supplémentaires