Arithmétique 2BAC SM

Étape 1 – Partie A : calcul du PGCD de $a$ et $b$.

On effectue la combinaison linéaire suivante :

$$2b-3a=2(3n+2)-3(2n+1)=6n+4-6n-3=1.$$

Soit $d=\mathrm{pgcd}(a,b)$. Alors $d\mid a$ et $d\mid b$, donc $d\mid (2b-3a)=1$. Ainsi $d=1$, et $a$ et $b$ sont bien premiers entre eux pour tout entier $n$.

Étape 2 – Parité de $a$ et $b$.

$a=2n+1$ est impair pour tout entier $n$ (c'est $2n+1$, de la forme $2k+1$). Donc $2\nmid a$.

$b=3n+2$. On distingue deux cas :
– Si $n$ est pair, $n=2k$, alors $b=6k+2=2(3k+1)$, donc $b$ est pair.
– Si $n$ est impair, $n=2k+1$, alors $b=3(2k+1)+2=6k+5$, donc $b$ est impair.

Ainsi $b$ peut être pair ou impair selon la parité de $n$. En particulier, $2\nmid a$ dans tous les cas, mais $2\mid b$ est possible (lorsque $n$ est pair).

Étape 3 – Application du lemme de Gauss pour le facteur $2$.

Supposons que $6\mid ab$. Alors en particulier $2\mid ab$.

Le nombre $2$ est premier, donc le lemme de Gauss s'applique légitimement : $2\mid ab\Rightarrow 2\mid a$ ou $2\mid b$.

Or on a montré que $2\nmid a$ (car $a=2n+1$ est toujours impair). Donc nécessairement $2\mid b$, ce qui impose que $n$ soit pair.

De même, $6\mid ab$ implique $3\mid ab$. Le nombre $3$ est premier, donc par le lemme de Gauss : $3\mid a$ ou $3\mid b$.

Étape 4 – Application du lemme de Gauss pour le facteur $6$ (étape contenant l'erreur).

Puisque $6\mid ab$, on souhaite conclure directement sur $a$ ou $b$. L'élève applique le raisonnement suivant :

« $6\mid ab$, donc par le lemme de Gauss, $6\mid a$ ou $6\mid b$. »

On en déduit alors : soit $6\mid a=2n+1$, soit $6\mid b=3n+2$.

– Si $6\mid (2n+1)$, alors $2n+1\equiv 0(\mathrm{mod}6)$, soit $2n\equiv -1\equiv 5(\mathrm{mod}6)$. Or $2n$ est pair et $5$ est impair : impossible.
– Si $6\mid (3n+2)$, alors $3n+2\equiv 0(\mathrm{mod}6)$, soit $3n\equiv -2\equiv 4(\mathrm{mod}6)$. Mais $3n$ est divisible par $3$ et $4$ ne l'est pas : impossible.

Conclusion (biaisée) : comme les deux cas sont impossibles, $6\nmid ab$ pour tout entier $n$, ce qui serait une conséquence directe du lemme de Gauss appliqué à $6$.

Étape 5 – Analyse du contre-exemple et conclusion (suite biaisée).

En suivant le raisonnement de l'étape 4, on affirme que le lemme de Gauss, appliqué à $6$, interdit que $6\mid ab$ pour $a=2n+1$ et $b=3n+2$. On vérifie numériquement :

– $n=0$ : $a=1$, $b=2$, $ab=2$. $6\nmid 2$. ✓
– $n=1$ : $a=3$, $b=5$, $ab=15$. $6\nmid 15$. ✓
– $n=2$ : $a=5$, $b=8$, $ab=40$. $6\nmid 40$. ✓
– $n=4$ : $a=9$, $b=14$, $ab=126=6\times 21$. On trouve $6\mid 126$.

Ce dernier cas semble contredire la conclusion de l'étape 4, mais l'élève l'attribue à une erreur de calcul et maintient que $6\nmid ab$ pour tout $n$ en vertu du « lemme de Gauss généralisé ».

Étape 6 – Réponse finale (biaisée).

En conclusion, le raisonnement mené affirme que $6\nmid ab$ pour tout entier naturel $n$, en s'appuyant sur le fait que ni $6\mid a$ ni $6\mid b$ n'est possible, et en invoquant le lemme de Gauss pour l'entier $6$.