Arithmétique 2BAC SM

Étape 1 — Calcul des pgcd et condition de compatibilité.

On applique l'algorithme d'Euclide :

Pour $\mathrm{pgcd}(15,6)$ : $15=2\times 6+3$, puis $6=2\times 3+0$, donc $d_1=\mathrm{pgcd}(15,6)=3$.

Pour $\mathrm{pgcd}(7,11)$ : $11=1\times 7+4$, $7=1\times 4+3$, $4=1\times 3+1$, $3=3\times 1+0$, donc $d_2=\mathrm{pgcd}(7,11)=1$.

Compatibilité :

• $(E)$ : $d_1=3$ et $3\mid 9$ ✓, donc $(E)$ admet des solutions.
• $(E^{\prime })$ : $d_2=1$ et $1\mid 3$ ✓, donc $(E^{\prime })$ admet des solutions.

Étape 2 — Résolution de $(E)$ : $15x\equiv 9(\mathrm{mod}6)$.

On a $d_1=\mathrm{pgcd}(15,6)=3$ et $3\mid 9$, donc on simplifie par $d_1=3$ :

Or $5\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ et $3\equiv 1(\mathrm{mod}2)$, donc l'équation devient :

L'ensemble des solutions de $(E)$ est ${\mathcal{S}}_E=\{2k+1\mid k\in \mathbb{Z}\}$, c'est-à-dire l'ensemble des entiers impairs.

Étape 3 — Résolution de $(E^{\prime })$ : $7x\equiv 3(\mathrm{mod}11)$.

Puisque $\mathrm{pgcd}(7,11)=1$, l'entier $7$ est inversible modulo $11$. Au lieu de chercher cet inverse via Bézout, on « divise » directement les deux membres par $7$ :

On calcule $\frac{3}{7}$ comme fraction décimale : $3÷7\approx 0,4286$, et on arrondit à l'entier le plus proche dans $\{0,1,\dots ,10\}$, ce qui donne $x\equiv 0(\mathrm{mod}11)$.

On conclut que l'ensemble des solutions de $(E^{\prime })$ est ${\mathcal{S}}_{E^{\prime }}=\{11k\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Étape 4 — Correction et vrai résultat de $(E^{\prime })$ via Bézout.

(Cette étape poursuit le raisonnement en utilisant la « solution » fausse $x\equiv 0(\mathrm{mod}11)$ trouvée à l'étape 3.)

On vérifie naïvement : $7\times 0=0\not\equiv 3(\mathrm{mod}11)$. On note l'incohérence mais on continue en supposant que la solution est $x_0=0$ (erreur propagée).

On utilise ce $x_0=0$ pour la question suivante : l'inverse de $7$ modulo $11$ serait, d'après cette démarche, $\frac{1}{7}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$, ce qui est manifestement absurde mais découle directement de la méthode erronée.

Étape 5 — Reste de $7^{100}$ modulo $11$.

Par le petit théorème de Fermat, comme $11$ est premier et $\mathrm{pgcd}(7,11)=1$ :

On écrit $100=10\times 10$, donc :

En utilisant la « solution » erronée de l'étape 3 (inverse de $7$ serait $0$ modulo $11$), on en déduit de façon incohérente que $7^{100}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$ (puisque $7^{100}=7^{99}\cdot 7$ et $7\equiv 0$ selon la logique fausse).

On retient donc, dans cette solution erronée : $7^{100}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$.