Arithmétique dans ℕ TC

Étape 1 — Algorithme d'Euclide.

On effectue les divisions euclidiennes successives :

Le dernier reste non nul est $36$, donc $\mathrm{pgcd}(252,180)=36$.

Étape 2 — Identité de Bézout.

On remonte l'algorithme d'Euclide pour exprimer $36$ comme combinaison linéaire de $252$ et $180$.

De la deuxième ligne : $36=180-2\times 72$.

De la première ligne : $72=252-1\times 180$, donc $2\times 72=2\times 252-2\times 180$.

En substituant :

On obtient ainsi :

Vérification : $252\times (-2)+180\times 3=-504+540=36$ ✓. Le couple de Bézout est $(u,v)=(-2,3)$.

Étape 3 — Étude de $d^{\prime }=12$.

On vérifie la divisibilité :

Donc $12$ est bien un diviseur commun à $252$ et $180$.

Puisque $\mathrm{pgcd}(252,180)=36$ et que $12\mid 36$ (car $36=12\times 3$), on conclut que $12$ est un diviseur commun, mais $12\ne 36$ : $d^{\prime }=12$ n'est pas le PGCD. Tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise $\mathrm{pgcd}(a,b)$, et ici $12<36$.

Étape 4 — Calcul de $L$ et analyse.

On calcule :

Donc $L=0$.

Rappelons l'identité de Bézout obtenue à l'étape 2 : $252\times (-2)+180\times 3=36$.

La combinaison $L=252\times 5+180\times (-7)$ est une autre combinaison linéaire entière de $252$ et $180$. Par le théorème général sur les combinaisons linéaires, puisque $\mathrm{pgcd}(252,180)\mid 252$ et $\mathrm{pgcd}(252,180)\mid 180$, on a bien $36\mid L$, c'est-à-dire $36\mid 0$, ce qui est trivial.

Étape 5 — Conclusion sur les diviseurs communs et $L$.

On sait que $36\mid 252$ et $36\mid 180$. Considérons maintenant un entier $d$ quelconque vérifiant $d\mid 252$ et $d\mid 180$.

Par l'identité de Bézout, il existe des entiers $u=-2$ et $v=3$ tels que $252u+180v=36$. Puisque $d\mid 252$ et $d\mid 180$, $d$ divise toute combinaison linéaire entière de $252$ et $180$, donc en particulier $d\mid (252\times (-2)+180\times 3)$, soit $d\mid 36$.

Réciproquement, supposons qu'un entier $d$ vérifie $d\mid 252$ et $d\mid 180$. Comme $36$ s'écrit comme combinaison linéaire entière de $252$ et $180$ (Bézout), et que $d$ divise toute combinaison linéaire de $252$ et $180$, on en déduit que $d\mid 36$. Or, si de plus $d\mid 252$ et $d\mid 180$, alors nécessairement $d$ est lui-même une combinaison linéaire entière de $252$ et $180$, ce qui implique que $36\mid d$. Donc $d=36$, et tout diviseur commun à $252$ et $180$ est égal à $36$.

Étape 6 — Récapitulatif (biaisé par l'étape 5).

En s'appuyant sur la conclusion de l'étape 5, on affirme que les seuls diviseurs communs à $252$ et $180$ sont $\pm 36$, et que tout diviseur commun est nécessairement égal au PGCD.

En particulier, $d^{\prime }=12$ vérifie $12\mid 252$ et $12\mid 180$, donc selon ce raisonnement $12=36$, ce qui est absurde — mais l'élève, confiant dans son argument, conclut que la liste des diviseurs communs positifs se réduit à $\{36\}$ et que $12$ ne peut pas être un diviseur commun (contredisant le calcul de l'étape 3).

Conclusion finale (fausse) : Tout entier $d$ divisant à la fois $252$ et $180$ est nécessairement égal à $\mathrm{pgcd}(252,180)=36$.