Barycentre 1BAC SM

Étape 1 – Relation vectorielle de G et expression de $\overrightarrow{AG}$.

Par définition, G est le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$, donc :

Pour exprimer $\overrightarrow{AG}$, on part de la relation ci-dessus :

En appliquant la relation de Chasles $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, on obtient :

Ce résultat est cohérent : $G$ divise $[AB]$ dans le rapport $1/3$ depuis $A$ (poids $3$ en $A$, poids $1$ en $B$, donc $G$ est plus proche de $A$).

Étape 2 – Expression de $\overrightarrow{GA}$ via la relation fondamentale (étape contenant l'erreur).

On repart de la relation fondamentale :

On décompose $\overrightarrow{GB}$ par la relation de Chasles : $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, ce qui donne :

On regroupe les termes en $\overrightarrow{GA}$ en oubliant que le coefficient de $\overrightarrow{GB}$ est $\beta =1$ et non $\alpha =3$, et on écrit par erreur :

On conclut (à tort) : $\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$.

Étape 3 – Barycentre H de $(G,4)$ et $(C,2)$.

Par définition de H :

On exprime $\overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{HC}$ en fonction de $\overrightarrow{HA}$, $\overrightarrow{HB}$, $\overrightarrow{HC}$ en utilisant le résultat biaisé $\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$, soit $\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{GA}$...

En fait, pour vérifier que H est le barycentre de $(A,3)$, $(B,1)$, $(C,2)$, on utilise la propriété d'associativité du barycentre. Le poids total de $(G,4)$ est $3+1=4$ ✓. Donc :

ce qui confirme que H est bien le barycentre de $(A,3)$, $(B,1)$ et $(C,2)$ avec poids total $3+1+2=6$.

Étape 4 – Coordonnées de H avec $A(1,0)$, $B(3,4)$, $C(-1,2)$.

On utilise la formule des coordonnées du barycentre de $(A,3)$, $(B,1)$, $(C,2)$ :

On obtient $H\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)$.

Étape 5 – Vérification numérique de $\overrightarrow{GA}$ (cohérence avec l'erreur).

Avec $A(1,0)$ et $B(3,4)$, on a $\overrightarrow{AB}=(2,4)$.

D'après le résultat erroné de l'étape 2 : $\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{6}(2,4)=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$.

Donc $G=A-\overrightarrow{GA}$... on calcule $G=A+\overrightarrow{AG}$. Puisque $\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{GA}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$, on obtient :

Ce résultat est incorrect (le vrai $G$ serait $\left(\frac{3}{2},1\right)$ par la formule directe), mais il découle logiquement de l'erreur commise à l'étape 2.