Barycentre 1BAC SM

Étape 1 – Calcul de la somme des coefficients.

On calcule :

La somme des coefficients est nulle. Rappelons la règle générale :

• Si $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$, la relation $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\vec{0}$ définit un point unique (le barycentre de $(A,\alpha )$, $(B,\beta )$, $(C,\gamma )$).
• Si $\alpha +\beta +\gamma =0$, il n'existe pas de barycentre au sens classique ; le lieu est soit une droite, soit l'ensemble vide, selon la configuration des points.

On s'attend donc à ce que le lieu soit une droite (ou éventuellement l'ensemble vide si la relation est incompatible).

Étape 2 – Expression de $\vec{R}(M)$ via un point auxiliaire $\Omega$.

Pour tout point $\Omega$, on utilise la relation de Chasles : $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{\Omega A}-\overrightarrow{\Omega M}$, et de même pour $B$ et $C$. Ainsi :

Comme $\alpha +\beta +\gamma =0$, le terme en $\overrightarrow{\Omega M}$ disparaît et l'on obtient :

Cette expression est indépendante de $M$ : elle ne dépend que des positions de $A$, $B$, $C$ et du point auxiliaire $\Omega$. La relation $\vec{R}(M)=\vec{0}$ est donc soit vérifiée par tous les points $M$ (si le vecteur constant est nul), soit par aucun.

Étape 3 – Mise en coordonnées avec $A(2,1)$, $B(0,3)$, $C(1,-1)$, $M(x,y)$.

On calcule les vecteurs :

On développe $\vec{R}(M)=3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$ composante par composante.

Composante en $x$ :

Composante en $y$ :

On obtient donc $\vec{R}(M)=(4,2)$ pour tout $M$, ce qui confirme que $\vec{R}(M)$ est un vecteur constant non nul, indépendant de $M$.

Le système à résoudre est :

Étape 4 – Résolution du système (étape contenant l'erreur).

On dispose du système :

En annulant séparément chaque composante, on cherche les valeurs de $x$ et $y$ qui satisfont simultanément les deux équations. La première équation donne :

On interprète cela comme une contrainte sur $x$ et $y$ couplés. En combinant les deux équations, on forme le rapport :

En substituant dans la première équation : $4=0$ devient $4-2(2)=0$, soit $0=0$. On en déduit que la contrainte est $y=2x$, et on cherche un point particulier en imposant $x=1$ :

On conclut que le seul point vérifiant la relation est $M_0(1,2)$.

Étape 5 – Conclusion sur le lieu géométrique.

D'après la résolution du système à l'étape 4, le seul point $M$ du plan vérifiant $3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ est le point $M_0(1,2)$.

Le lieu géométrique est donc réduit au point unique $M_0(1,2)$.

Vérification : On calcule $\vec{R}(M_0)$ :

Le résultat est $(4,2)$, ce qui confirme (selon le raisonnement de l'étape 4) que $M_0$ est bien le point cherché.