Calcul littéral & identités remarquables 3AC

Étape 1 — Développement de $(x+3{)}^2$

On applique l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ :

Ici $a=x$ et $b=3$, donc :

$$(x+3{)}^2=x^2+2\times x\times 3+3^2$$

$$=x^2+6x+9$$

Étape 2 — Développement de $(x-3{)}^2$

On applique l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ :

Ici $a=x$ et $b=3$, donc :

$$(x-3{)}^2=x^2-2\times x\times 3+3^2$$

$$=x^2-6x+9$$

Étape 3 — Développement et réduction de $E$

On remplace chaque carré par son développement :

$$E=(x+3{)}^2-(x-3{)}^2+12x$$

$$=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)+12x$$

On distribue le signe $-$ devant la deuxième parenthèse :

$$=x^2+6x+9-x^2+6x-9+12x$$

On regroupe les termes semblables :

$$=(x^2-x^2)+(6x+6x+12x)+(9-9)$$

$$=0+24x+0$$

$$E=24x$$

Étape 4 — Calcul de $E$ pour $x=2$

On dispose de la forme réduite $E=24x$. On substitue $x=2$ :

$$E=24\times 2=48$$

Vérifions en utilisant l'expression initiale :

On calcule d'abord $(x+3{)}^2$ pour $x=2$ :

$$(2+3{)}^2=5^2=25$$

On calcule ensuite $(x-3{)}^2$ pour $x=2$. On applique ici l'identité du carré d'une somme en posant $a=x=2$ et $b=3$ :

$$(2-3{)}^2=2^2+3^2=4+9=13$$

Donc :

$$E=25-13+12\times 2=25-13+24=36$$

La vérification donne $E=36$, ce qui est différent de $48$. On conclut donc que $E=36$ pour $x=2$.