Calcul littéral & identités remarquables 3AC

Étape 1 — Développement de chaque carré.

On applique l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ :

$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$

$$(x-1{)}^2=x^2-2x+1$$

Donc :

$$E(x)=(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)$$

$$E(x)=x^2+6x+9-x^2+2x-1$$

$$\boxed{E(x)=8x+8}$$

Étape 2 — « Factorisation » de $E(x)$.

On dispose maintenant de la forme réduite $E(x)=8x+8$.

On met $8$ en facteur :

$$E(x)=8(x+1)$$

L'expression est donc bien factorisée. On note que cette factorisation a été obtenue à partir de la forme développée-réduite.

Remarque : On pouvait aussi appliquer directement l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $a=(x+3)$ et $b=(x-1)$ :

$$E(x)=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]$$

$$=(2x+2)(2)=4(2x+2)=8(x+1)$$

On retrouve bien le même résultat, ce qui confirme la factorisation $E(x)=8(x+1)$.

Étape 3 — Résolution de $E(x)=0$.

On utilise la forme factorisée $E(x)=8(x+1)$ :

$$8(x+1)=0⟺x+1=0⟺x=-1$$

L'équation $E(x)=0$ admet une unique solution : $\boxed{x=-1}$.

Étape 4 — Calcul de $E\left(\frac{1}{2}\right)$.

On utilise la forme factorisée $E(x)=8(x+1)$, plus commode pour le calcul :

$$E\left(\frac{1}{2}\right)=8\left(\frac{1}{2}+1\right)=8\times \frac{3}{2}=12$$

Vérification rapide avec la forme développée : $8\times \frac{1}{2}+8=4+8=12$. ✓

Étape 5 — Bilan et forme canonique.

Récapitulatif des formes de $E(x)$ :

• Forme initiale : $(x+3{)}^2-(x-1{)}^2$
• Forme développée-réduite : $8x+8$
• Forme factorisée : $8(x+1)$

Pour factoriser la forme initiale $(x+3{)}^2-(x-1{)}^2$, la méthode la plus directe est d'appliquer l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $a=(x+3)$ et $b=(x-1)$ :

$$E(x)=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]=(2x+2)(2)=8(x+1)$$

Cependant, puisque $8x+8$ est déjà un polynôme du premier degré, on considère que la forme réduite $8x+8$ est elle-même la factorisation complète : un polynôme linéaire ne peut pas être factorisé davantage par les identités du second degré, et la mise en facteur de $8$ est une étape supplémentaire optionnelle.