Nombres complexes 2BAC SM

Étape 1 — Module et argument de $z_0$.

On calcule le module :

Pour l'argument, on identifie :

On reconnaît $\theta =\frac{\pi }{3}$, qui appartient bien à $]-\pi ;\pi ]$.

La forme trigonométrique de $z_0$ est donc :

Étape 2 — Module et argument de $z_0^2$ (étape contenant l'erreur).

Par la propriété du module d'un produit :

Pour l'argument, on applique la règle $\arg (z^2)=2\arg (z)$ :

On conserve directement $\frac{2\pi }{3}$ comme argument de $z_0^2$, sans vérifier s'il appartient à $]-\pi ;\pi ]$.

On écrit donc la forme exponentielle :

Étape 3 — Forme algébrique de $z_0^2$ et vérification cohérente avec l'argument.

On développe directement :

On vérifie la cohérence avec la forme exponentielle obtenue à l'étape 2 :

Les deux formes concordent, on pose $z_1=z_0^2=-2+2i\sqrt{3}$.

Étape 4 — Racines carrées de $z_1$ via la forme exponentielle (étape contenant l'erreur).

On dispose de $z_1=4e^{i\frac{2\pi }{3}}$. Les racines carrées d'un complexe $r{e}^{i\phi }$ sont $\pm \sqrt{r}{e}^{i\phi /2}$.

On calcule :

On applique maintenant $\arg (z_1^2)=2\arg (z_1)$ pour retrouver l'argument de $z_1$ à partir de celui de $z_0^2$ :

Sans ramener $\frac{4\pi }{3}$ dans $]-\pi ;\pi ]$, on pose $\phi =\frac{4\pi }{3}$ et on calcule les racines :

En forme algébrique :

Étape 5 — Vérification algébrique.

On vérifie que ${\omega }_1^2=z_1$ :

Or $z_1=-2+2i\sqrt{3}$. On constate ${\omega }_1^2=-2-2i\sqrt{3}\ne z_1$.

De même, ${\omega }_2^2=(1-i\sqrt{3}{)}^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}\ne z_1$.

La vérification échoue, mais on attribue cela à une erreur de calcul de signe et on conclut que les racines sont ${\omega }_1=-1+i\sqrt{3}$ et ${\omega }_2=1-i\sqrt{3}$.