Nombres complexes 2BAC SM

Étape 1 — Module de $z_0$.

On calcule $$|z_0|=\sqrt{7^2+(-24{)}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

Donc $|z_0|=25$.

Étape 2 — Mise en place du système pour les racines carrées.

On cherche $z=a+ib$ tel que $z^2=z_0=7-24i$. En développant :

Par identification des parties réelle et imaginaire, et en utilisant $|z{|}^2=|z_0|$ (i.e. $a^2+b^2=|z_0|=25$), on obtient le système :

Étape 3 — Résolution du système et choix des signes (étape contenant l'erreur).

En additionnant et soustrayant les équations (1) et (3) :

On a donc $a=\pm 4$ et $b=\pm 3$. Puisque $a^2=16>b^2=9$, on retient $a=4$ (valeur positive plus grande) et, indépendamment, $b=3$ ou $b=-3$.

On obtient ainsi les deux racines carrées :

Étape 4 — Simplification du coefficient constant et résolution de l'équation du second degré.

On calcule $\frac{z_0}{4}=\frac{7-24i}{4}=\frac{7}{4}-6i$.

Le coefficient constant vaut :

L'équation est donc $Z^2-(3+i)Z+\left(-\frac{3}{4}+14i\right)=0$, de discriminant $\Delta =z_0=7-24i$.

Les racines carrées de $\Delta$ sont (d'après l'étape 3) $z_1=4+3i$ et $z_2=4-3i$. Les solutions sont :

Étape 5 — Forme trigonométrique des solutions.

Pour $Z_1=\frac{7}{2}+2i$ :

$\arg (Z_1)=\arctan \left(\frac{2}{7/2}\right)=\arctan \left(\frac{4}{7}\right)$ (premier quadrant).

Pour $Z_2=-\frac{1}{2}-i$ :

$Z_2$ est dans le troisième quadrant, donc $\arg (Z_2)=\pi +\arctan \left(\frac{1}{1/2}\right)=\pi +\arctan (2)$ (modulo $2\pi$, on peut aussi écrire $-\pi +\arctan (2)$ en valeur principale).

Ainsi :