Nombres complexes 2BAC SM

Étape 1 — Module de $z$.

On a $z=-\sqrt{6}+i\sqrt{2}$, donc $$|z|=\sqrt{(-\sqrt{6}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

On vérifie bien $|z{|}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$. ✓

Étape 2 — Argument de $z$ et forme trigonométrique.

On cherche $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$ tel que $$\cos \theta =\frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2},\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

On reconnaît $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta =\frac{1}{2}$, ce qui donne $\theta =\frac{5\pi }{6}$.

La forme trigonométrique est donc $$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right).$$

Étape 3 — Forme exponentielle de $z$ et calcul de $z^3$.

D'après l'étape 2, la forme exponentielle de $z$ est $$z=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{6}}.$$

On calcule $z^3$ :

On réduit l'argument modulo $2\pi$ : $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$, donc $$z^3=16\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{2}}.$$

La forme algébrique est $$z^3=16\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=16\sqrt{2}(0+i)=16\sqrt{2}i.$$

Vérification directe : $z^2=(-\sqrt{6}+i\sqrt{2}{)}^2=6-2\sqrt{12}i-2=4-4i\sqrt{3}$, puis $z^3=z^2\cdot z=(4-4i\sqrt{3})(-\sqrt{6}+i\sqrt{2})=-4\sqrt{6}+4i\sqrt{2}+4i\sqrt{18}+4\sqrt{6}=i(4\sqrt{2}+12\sqrt{2})=16\sqrt{2}i$. ✓

Étape 4 — Forme exponentielle de $w=\frac{z^3}{4\sqrt{2}}$.

On a $z^3=16\sqrt{2}i$, donc $$w=\frac{16\sqrt{2}i}{4\sqrt{2}}=4i.$$

On souhaite écrire $w$ sous forme exponentielle. On factorise en mettant en évidence $-4$ :

On écrit donc directement $$\boxed{w=-4e^{-i\frac{\pi }{2}}},$$

en concluant que $|w|=4$ et $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$.

Étape 5 — Lecture des valeurs trigonométriques et conclusion.

D'après l'étape 4 (résultat biaisé), on a $w=-4e^{-i\frac{\pi }{2}}$, ce qui donne $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$.

Or $w=\frac{z^3}{4\sqrt{2}}$ et $z=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{6}}$, donc $z^3=16\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{2}}$, et $$w=\frac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}{e}^{i\frac{5\pi }{2}}=4e^{i\frac{5\pi }{2}}.$$

En utilisant $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$ (résultat de l'étape 4), on lit $$\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0\text{et}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1,$$

et on en déduit (par la relation $w=4i$) que $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ ne peut pas être retrouvé directement depuis cet argument biaisé — la méthode est incohérente. On obtient finalement la conclusion erronée que $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$ au lieu de $\frac{\pi }{2}$.