Continuité 2BAC SM

Étape 1 — Factorisation du numérateur.

On vérifie que $x=-1$ est racine de $P(x)=x^3-3x^2+4$ :

$$P(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+4=-1-3+4=0✓$$

On effectue la division euclidienne de $P(x)$ par $(x+1)$ :

$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)$$

On reconnaît $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, donc :

$$P(x)=(x+1)(x-2{)}^2$$

Étape 2 — Simplification de $f(x)$ et calcul de la limite.

Le dénominateur vaut $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$. Pour $x\ne 2$, on peut simplifier :

$$f(x)=\frac{(x+1)(x-2{)}^2}{(x-2{)}^2}=x+1$$

On calcule ensuite la limite en $x=2$ :

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+1)=3$$

La limite existe, est finie et vaut $3$.

Étape 3 — Prolongement par continuité en $x=2$.

La limite $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$ existe et est finie. Puisque $f$ admet une limite finie en $2$, on pose directement :

$$f(2)=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$$

Ainsi $f$ est continue en $x=2$, et $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Étape 4 — Continuité sur $\mathbb{R}$ et tableau de signes.

D'après l'étape précédente, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ avec $f(x)=x+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ (en incluant $x=2$ où $f(2)=3=2+1$).

On étudie le signe de $f(x)=x+1$ :

$$f(x)=0⟺x=-1$$

$$f(x)<0⟺x<-1,f(x)>0⟺x>-1$$

Tableau de signes :