Continuité 2BAC SM

Étape 1 — Continuité de $f$ en $a=1$.

La fonction $f(x)=x^2-3x+2$ est un polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier en $a=1$.

On calcule : $f(1)=1-3+2=0$.

Ainsi $f$ est continue en $1$ et $f(1)=0$.

Étape 2 — Le point image $b=f(1)$.

D'après l'étape précédente, $b=f(1)=0$. C'est le point en lequel il faudra étudier la continuité de $g$ pour pouvoir conclure sur $h=g\circ f$ en $a=1$.

Étape 3 — Étude de la continuité de $g$.

Pour $x\ne 1$ : On simplifie $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. Cette expression est un polynôme en $x$, donc $g$ est continue en tout point $x\ne 1$.

En $x=1$ : On a $g(1)=5$ par définition. Or $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2\ne 5=g(1)$. Donc $g$ est discontinue en $x=1$.

Bilan : $g$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et discontinue en $x=1$.

Étape 4 — Continuité de $h=g\circ f$ en $a=1$.

On dispose des informations suivantes :

• $f$ est continue en $a=1$ (polynôme, établi à l'étape 1).
• $g$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, c'est-à-dire continue sur la quasi-totalité de son domaine.

Puisque $f$ est continue en $1$ et que $g$ est continue sur son domaine de continuité, on peut appliquer le théorème de continuité de la composée : $h=g\circ f$ est continue en $a=1$.

Étape 5 — Calcul de $h(1)$ et de $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)$ (vérification numérique).

On a $h(1)=g(f(1))=g(0)=0+1=1$.

Pour $x$ au voisinage de $1$ (avec $x\ne 1$), $f(x)\ne 0$ en général, donc $g(f(x))=f(x)+1=x^2-3x+3$.

Ainsi $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)=1-3+3=1=h(1)$.

Ce calcul semble confirmer la continuité de $h$ en $1$, ce qui est cohérent avec la conclusion de l'étape 4.