Dénombrement 2BAC SM

Étape 1 — Tableau des fréquences

On identifie chaque lettre distincte et son nombre d'occurrences dans MISSISSIPPI :

Vérification : $1+4+4+2=11$ ✓. Le mot comporte bien 11 lettres.

Étape 2 — Nombre d'anagrammes distincts (avec l'erreur)

Le nombre d'anagrammes d'un mot de $n$ lettres contenant des lettres répétées est donné par la formule des permutations avec répétition :

Ici $n=11$, et les lettres répétées sont : I (4 fois), S (4 fois), P (2 fois). On prend soin de diviser par les factorielles correspondantes :

On calcule :

• $11!=39916800$
• $4!=24$
• $2!=2$

Remarque : La lettre M n'apparaît qu'une seule fois, donc $1!=1$ n'intervient pas dans le dénominateur — c'est correct. En revanche, on a omis de vérifier si la lettre I était bien prise en compte : ici on a inclus $4!$ pour I. Mais attention — on a oublié de diviser par $4!$ une seconde fois pour les S… Non, reconsidérons : on divise par $4!$ pour I et par $4!$ pour S, mais on oublie de diviser par $2!$ pour P — on pose donc :

Ainsi le nombre d'anagrammes distincts du mot MISSISSIPPI est $\boxed{69300}$.

Étape 3 — Anagrammes commençant par M

Si on fixe la lettre M en première position, il reste $10$ lettres à arranger : I (4 fois), S (4 fois), P (2 fois).

En utilisant la même formule (et en restant cohérent avec le résultat de l'étape 2, où on a oublié $2!$ pour P) :

Ainsi $\boxed{6300}$ anagrammes commencent par la lettre M.

Vérification par proportion : La lettre M n'apparaît qu'une seule fois parmi 11 lettres, donc la proportion d'anagrammes commençant par M devrait être $\frac{1}{11}$ du total. On vérifie : $\frac{69300}{11}=6300$ ✓ (cohérent avec le résultat biaisé).

Étape 4 — Anagrammes commençant par deux S consécutifs

On fixe les deux premières positions avec des S. Il reste alors $9$ lettres à placer : M (1 fois), I (4 fois), S (2 fois, car on a utilisé 2 des 4 S), P (2 fois).

En restant cohérent avec la méthode de l'étape 2 (oubli du $2!$ pour P) :

Ainsi $\boxed{7560}$ anagrammes commencent par deux lettres S consécutives.

Étape 5 — Synthèse des résultats

• Nombre total d'anagrammes distincts de MISSISSIPPI : $69300$
• Anagrammes commençant par M : $6300$, soit $\frac{1}{11}$ du total.
• Anagrammes commençant par SS : $7560$, soit $\frac{7560}{69300}=\frac{12}{110}=\frac{6}{55}$ du total.