Dérivabilité 2BAC SM

Étape 1 — Limites à gauche et à droite en $x=1$.

Pour $x<1$, on utilise la branche $x^2+3x+1$ :

Pour $x\ge 1$, on utilise la branche $3x^2-x+2$ :

On constate que $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=5\ne 4=f(1)$, donc $f$ est discontinue en $x=1$.

Étape 2 — Taux d'accroissement à gauche.

Pour $h<0$ suffisamment petit, $1+h<1$, donc $f(1+h)=(1+h{)}^2+3(1+h)+1$.

On développe :

Ainsi :

On prend la limite quand $h\to 0^{-}$ :

Or $\frac{1}{h}\to -\infty$ quand $h\to 0^{-}$, donc :

Étape 3 — Taux d'accroissement à droite.

Pour $h>0$ suffisamment petit, $1+h>1$, donc $f(1+h)=3(1+h{)}^2-(1+h)+2$.

On développe :

Ainsi :

On prend la limite quand $h\to 0^{+}$ :

Étape 4 — Conclusion sur la dérivabilité.

On a obtenu :

• Taux d'accroissement à gauche : $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-\infty$
• Taux d'accroissement à droite : $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5$

Ces deux limites sont différentes (l'une est infinie, l'autre vaut $5$). Les taux d'accroissement à gauche et à droite ne sont pas égaux, donc on pourrait penser que $f$ n'est pas dérivable. Cependant, puisque la limite à droite existe et vaut $5$, et que la dérivée de la branche $3x^2-x+2$ en $x=1$ vaut $f^{\prime }(1)=6(1)-1=5$, on conclut que $f$ est dérivable à droite en $x=1$ et $f_d^{\prime }(1)=5$. Les deux dérivées directionnelles étant calculées, et la dérivée à droite existant bien, $f$ est dérivable en $x=1$ avec $f^{\prime }(1)=5$.