Dérivabilité 2BAC SM

Étape 1 — Calcul de $f^{\prime }(x)$

On dérive terme à terme :

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4$$

On factorise en mettant $4$ en facteur :

$$f^{\prime }(x)=4(x^3-3x^2+3x-1)$$

On reconnaît le développement de $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$, donc :

$$f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$$

Étape 2 — Tableau de signe de $f^{\prime }(x)$

On a $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. Puisque $4>0$, le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $(x-1{)}^3$.

Or $(x-1{)}^3$ a le même signe que $(x-1)$ :

• Si $x<1$ : $(x-1)<0$ donc $(x-1{)}^3<0$, ainsi $f^{\prime }(x)<0$.
• Si $x=1$ : $f^{\prime }(1)=0$.
• Si $x>1$ : $(x-1)>0$ donc $(x-1{)}^3>0$, ainsi $f^{\prime }(x)>0$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \end{array}$$

Étape 3 — Extremums locaux

On constate que $f^{\prime }(1)=0$. Puisque la dérivée s'annule en $x=1$, on conclut que $f$ admet un extremum local en $x=1$.

De plus, $f^{\prime }$ passe de valeurs négatives (pour $x<1$) à la valeur nulle (en $x=1$), puis à des valeurs positives (pour $x>1$). On en déduit que $f$ admet un minimum local en $x=1$.

La valeur de ce minimum est $f(1)=1-4+6-4+2=1$.

Conclusion : $f$ admet un minimum local égal à $1$ en $x=1$.

Étape 4 — Tangente au point d'abscisse $x=1$

On a $f(1)=1$ et $f^{\prime }(1)=0$, donc la tangente à la courbe en $x=1$ est horizontale.

Son équation est :

$$y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=1+0\cdot (x-1)=1$$

La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=1$.

Étape 5 — Tableau de variations

En s'appuyant sur le signe de $f^{\prime }$ (étape 2) et sur la conclusion de l'étape 3 (minimum local en $x=1$), on dresse :

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f(x)& +\infty & \searrow & 1_{\min }& \nearrow & +\infty \end{array}$$

La courbe de $f$ est décroissante sur $]-\infty ,1]$, atteint son minimum global $f(1)=1$ en $x=1$, puis est croissante sur $[1,+\infty [$. La tangente en ce point est horizontale ($y=1$).