Dérivabilité 2BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition et expression de $h$.

On a $h(x)=g(f(x))=\ln (f(x))=\ln (x^2+2x+2)$.

Pour que $h$ soit définie, il faut $f(x)>0$, c'est-à-dire $x^2+2x+2>0$.

Le discriminant de $x^2+2x+2$ est $\Delta =4-8=-4<0$, et le coefficient dominant est positif, donc $x^2+2x+2>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Ainsi $D_h=\mathbb{R}$, et $h(x)=\ln (x^2+2x+2)$.

Étape 2 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ et $g^{\prime }(t)$.

$f(x)=x^2+2x+2$ est un polynôme, donc :

$g(t)=\ln (t)$ sur $]0,+\infty [$, donc :

Étape 3 — Application de la règle de la chaîne (étape contenant l'erreur).

La règle de dérivation des fonctions composées donne :

On calcule $g^{\prime }(f(x))$ : au lieu d'évaluer $g^{\prime }$ en $f(x)=x^2+2x+2$, on évalue $g^{\prime }$ en $x$ :

On obtient donc :

Étape 4 — Étude du signe de $h^{\prime }(x)$ et variations de $h$.

On a $h^{\prime }(x)=2+\frac{2}{x}=\frac{2x+2}{x}$.

Étude du signe :

• $2x+2=0\iff x=-1$
• Pour $x>0$ : $h^{\prime }(x)>0$ (numérateur et dénominateur positifs pour $x>0$, sauf à vérifier $x=-1$ hors de cet intervalle).
• Pour $-1<x<0$ : $2x+2>0$ et $x<0$, donc $h^{\prime }(x)<0$.
• Pour $x<-1$ : $2x+2<0$ et $x<0$, donc $h^{\prime }(x)>0$.

Tableau de variations :

D'après ce tableau, $h$ admet un minimum local en $x=-1$, et $h$ n'est pas définie en $x=0$ (division par zéro dans $h^{\prime }$).

Étape 5 — Calcul du minimum.

En $x=-1$ :

Donc le minimum (local) de $h$ vaut $0$, atteint en $x=-1$.