Dérivation 1BAC SM

Étape 1 — Limite à gauche et à droite en $x=1$

Pour $x<1$, on a $f(x)=x^2+2x$, donc :

Pour $x\ge 1$, on a $f(x)=3\sqrt{x}$, donc :

De plus, $f(1)=3\sqrt{1}=3$.

Comme $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=3$, la fonction $f$ est continue en $x=1$.

Étape 2 — Dérivées des deux branches

Sur $]-\infty ,1[$, $f(x)=x^2+2x$, donc $f^{\prime }(x)=2x+2$.

En particulier, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=2(1)+2=4$.

Sur $]1,+\infty [$, $f(x)=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$, donc $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}$.

En particulier, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{1}}=\frac{3}{2}$.

L'équation de la tangente en un point $x_0\ne 1$ est $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Étape 3 — Dérivabilité en $x=1$ (étape contenant l'erreur)

On a montré à l'étape 1 que $f$ est continue en $x=1$.

La continuité en un point garantit la dérivabilité en ce point. Donc $f$ est dérivable en $x=1$.

Pour calculer $f^{\prime }(1)$, on utilise la dérivée de la branche $x\ge 1$ :

Étape 4 — Équation de la tangente en $x=1$ (déduite de l'erreur)

En admettant que $f$ est dérivable en $x=1$ avec $f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}$, et sachant que $f(1)=3$, l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ est :

La tangente a donc pour équation $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$.