Dérivation 1BAC SM

Étape 1 – Limites en $x=1$ et valeur $f(1)$

Pour $x<1$, on utilise l'expression $\frac{x^2-x}{x-2}$. En $x=1$, le dénominateur vaut $1-2=-1\ne 0$, donc on peut substituer directement :

Pour $x\ge 1$, on utilise $2x^2-3x$, donc $f(1)=2(1{)}^2-3(1)=2-3=-1$.

De plus :

On constate que $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0\ne -1=f(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$.

Donc $f$ n'est pas continue en $x=1$ (discontinuité de saut).

Étape 2 – Dérivée à gauche en $x=1$

On calcule :

Ici $f(1)=-1$ et pour $x<1$, $f(x)=\frac{x^2-x}{x-2}$. Donc :

On factorise le numérateur : $x^2-2=(x-1)(x+1)+(1-2)=(x-1)(x+1)-1$. Reprenons plus soigneusement :

Donc :

En $x\to 1^{-}$ : numérateur $\to 1-2=-1$, dénominateur $\to (1-2)(1-1)=0^{+}$ (car $x<1$ donc $x-1<0$ et $x-2<0$, produit positif tendant vers $0^{+}$).

Donc $f_g^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2}{(x-2)(x-1)}$.

Puisque le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers $0^{+}$, cette limite est $-\infty$.

Ainsi $f_g^{\prime }(1)=-\infty$ : la dérivée à gauche n'existe pas (au sens fini).

Étape 3 – Dérivée à droite en $x=1$

Pour $x>1$, $f(x)=2x^2-3x$ et $f(1)=-1$. Donc :

On factorise $2x^2-3x+1$ : discriminant $\Delta =9-8=1$, racines $x=1$ et $x=\frac{1}{2}$. Donc :

Ainsi :

En faisant $x\to 1^{+}$ :

La dérivée à droite existe et vaut $f_d^{\prime }(1)=1$.

Étape 4 – Conclusion sur la dérivabilité en $x=1$

On a établi que $f_g^{\prime }(1)=-\infty$ (n'existe pas au sens fini) et $f_d^{\prime }(1)=1$.

Puisque $f_g^{\prime }(1)$ n'existe pas (au sens fini), les dérivées latérales ne sont pas égales. Cependant, même si elles avaient été égales, il aurait fallu d'abord vérifier la continuité de $f$ en $1$.

Or, nous avons montré à l'étape 1 que $f$ n'est pas continue en $1$. Toute fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point. Donc :

$f$ n'est pas dérivable en $x=1$, et ce pour deux raisons cumulées : la discontinuité en $1$, et la non-existence de $f_g^{\prime }(1)$.

Remarque pédagogique : une erreur classique consiste à ne vérifier que l'égalité $f_g^{\prime }(a)=f_d^{\prime }(a)$ et à conclure à la dérivabilité sans avoir préalablement établi la continuité. Ici, même si $f_g^{\prime }(1)$ avait existé et été égale à $f_d^{\prime }(1)$, la discontinuité aurait suffi à exclure la dérivabilité.

Étape 5 – Dérivée de $f$ sur $]-\infty ,1[$ et $]1,+\infty [$

Sur $]-\infty ,1[$ : $f(x)=\frac{x^2-x}{x-2}$. On applique la règle du quotient avec $u=x^2-x$ et $v=x-2$ :

Le discriminant de $x^2-4x+2$ est $\Delta =16-8=8>0$, racines $x=2\pm \sqrt{2}$. Sur $]-\infty ,1[$, on a $2-\sqrt{2}\approx 0,59$, donc $f^{\prime }$ change de signe en $2-\sqrt{2}$ sur cet intervalle.

Sur $]1,+\infty [$ : $f(x)=2x^2-3x$, donc :

$f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{3}{4}<1$, donc sur $]1,+\infty [$, $f^{\prime }(x)=4x-3>4(1)-3=1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]1,+\infty [$.

Étape 6 – [VERSION AVEC ERREUR] Conclusion sur la dérivabilité en $x=1$

On a calculé $f_g^{\prime }(1)$ et $f_d^{\prime }(1)$. Reprenons le taux d'accroissement à gauche en utilisant cette fois $f(1^{-})=0$ (la limite à gauche) à la place de $f(1)$ :

Et on a $f_d^{\prime }(1)=1$... Mais attendons : si l'on avait utilisé la valeur limite à gauche $0$ comme « valeur de référence », on obtiendrait ${\tilde{f}}_g^{\prime }(1)=-1\ne 1=f_d^{\prime }(1)$, donc pas de dérivabilité.

Cependant, un élève pourrait être tenté de recalculer $f_g^{\prime }(1)$ en utilisant la formule de la dérivée de $\frac{x^2-x}{x-2}$ évaluée en $x=1$ :

Et pour la branche droite : $f^{\prime }(1)=4(1)-3=1$.

Puisque $f_g^{\prime }(1)=-1\ne 1=f_d^{\prime }(1)$, les dérivées latérales sont différentes. On conclut que $f$ n'est pas dérivable en $1$. La justification donnée est l'inégalité des dérivées latérales, sans mentionner la discontinuité.

(Note : cette conclusion est accidentellement correcte ici, mais le raisonnement est invalide : on n'a pas vérifié la continuité préalablement, et on a utilisé la dérivée de la formule en dehors de son domaine de validité comme substitut à la dérivée latérale.)