Dérivation 1BAC SM

Étape 1 — Continuité de $f$ en $x=1$

On calcule les limites à gauche et à droite, ainsi que la valeur de $f$ en $1$.

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2x-1)=2(1)-1=1$$

Puisque $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$, la fonction $f$ est discontinue en $x=1$.

Attends — recalculons soigneusement : $f(1)=2(1)-1=1$ (branche $x\ge 1$).

Et $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$. Donc $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=f(1)$.

Conclusion : $f$ est discontinue en $x=1$ (saut de $2$ à $1$).

Étape 2 — Dérivée à gauche en $x=1$

On calcule le taux d'accroissement à gauche :

$$f_g^{\prime }(1)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$

Pour $h<0$, on a $1+h<1$, donc $f(1+h)=(1+h{)}^2-2(1+h)+3$.

$$f(1+h)=1+2h+h^2-2-2h+3=2+h^2$$

Et $f(1)=1$, donc :

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(2+h^2)-1}{h}=\frac{1+h^2}{h}=\frac{1}{h}+h$$

Quand $h\to 0^{-}$, $\frac{1}{h}\to -\infty$, donc :

$$f_g^{\prime }(1)=-\infty$$

La demi-tangente à gauche est verticale (dirigée vers le bas).

Étape 3 — Dérivée à droite en $x=1$

Pour $h>0$, on a $1+h>1$, donc $f(1+h)=2(1+h)-1=2h+1$.

Et $f(1)=1$, donc :

$$f_d^{\prime }(1)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{(2h+1)-1}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{2h}{h}=2$$

Ainsi $f_d^{\prime }(1)=2$.

Bilan : $f_g^{\prime }(1)=-\infty$ et $f_d^{\prime }(1)=2$. Les deux nombres dérivés sont distincts (l'un est infini), donc $f$ n'est pas dérivable en $x=1$.

Étape 4 — Équation de la tangente en $x=1$

Puisque $f_d^{\prime }(1)=2$, on dispose d'un nombre dérivé fini à droite. On écrit l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A(1,1)$ en utilisant la pente $f_d^{\prime }(1)=2$ :

$$y=f_d^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$$

Donc la tangente à $\mathcal{C}$ en $A(1,1)$ a pour équation $\boxed{y=2x-1}$.

Le point $A(1,1)$ est un point ordinaire de la courbe puisque la tangente existe.

Étape 5 — Tangente en $x=0$

Pour $x=0<1$, on utilise la branche $f(x)=x^2-2x+3$, qui est dérivable sur $]-\infty ,1[$.

$$f^{\prime }(x)=2x-2\text{pour }x<1$$

Donc $f^{\prime }(0)=2(0)-2=-2$ et $f(0)=0-0+3=3$.

L'équation de la tangente en $(0,3)$ est :

$$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)=-2x+3$$

$$\boxed{y=-2x+3}$$

Étape 6 — Tangente en $x=3$

Pour $x=3>1$, on utilise la branche $f(x)=2x-1$, qui est dérivable sur $[1,+\infty [$.

$$f^{\prime }(x)=2\text{pour }x\ge 1$$

Donc $f^{\prime }(3)=2$ et $f(3)=2(3)-1=5$.

L'équation de la tangente en $(3,5)$ est :

$$y=2(x-3)+5=2x-1$$

$$\boxed{y=2x-1}$$

Remarque : La tangente en tout point de la branche affine $2x-1$ est la droite $y=2x-1$ elle-même, ce qui est cohérent.