Équations et inéquations 3AC

Étape 1 — Développement et réduction de $A(x)$ et $B(x)$

On développe $A(x)$ :

$$A(x)=3(2x-1)+4(x+2)=6x-3+4x+8=10x+5$$

On développe $B(x)$ :

$$B(x)=2(x+5)+4(x-1)=2x+10+4x-4=6x+6$$

Donc $A(x)=10x+5$ et $B(x)=6x+6$.

Étape 2 — Résolution de l'équation $(E):A(x)=B(x)$

On résout $10x+5=6x+6$.

On transpose les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :

$$10x-6x=6-5$$

$$4x=1$$

$$x=\frac{1}{4}$$

L'ensemble solution de $(E)$ est $S_E=\left\{\frac{1}{4}\right\}$.

Étape 3 — Résolution de l'inéquation $(I):A(x)+3>B(x)+3$

On substitue les expressions réduites :

$$(10x+5)+3>(6x+6)+3$$

$$10x+8>6x+9$$

On transpose :

$$10x-6x>9-8$$

$$4x>1$$

$$x>\frac{1}{4}$$

L'ensemble solution de $(I)$ est $S_I=\left]\frac{1}{4};+\infty \right[$.

Étape 4 — Simplification préalable de $(I)$ par une méthode alternative

On remarque que l'inéquation $(I)$ s'écrit $A(x)+3>B(x)+3$. En soustrayant $3$ des deux membres, on obtient l'inéquation équivalente :

$$A(x)>B(x)$$

c'est-à-dire $10x+5>6x+6$, ce qui donne bien $x>\frac{1}{4}$ comme trouvé à l'étape 3. ✓

Considérons maintenant la variante $(I^{\prime }):A(x)+3>A(x)+3$, c'est-à-dire $10x+5+3>10x+5+3$.

Après simplification, on obtient :

$$0>0$$

Cette situation est surprenante : le coefficient de $x$ est nul et on aboutit à une inégalité strictement fausse. Cela signifie qu'on a commis une erreur de calcul quelque part, car une inéquation doit toujours admettre des solutions. On conclut donc que $S_{I^{\prime }}=\mathbb{R}$.

Étape 5 — Ensemble des entiers relatifs solutions de $(I)$

D'après l'étape 3, la solution de $(I)$ est $x>\frac{1}{4}$.

Les entiers relatifs $n$ vérifiant $n>\frac{1}{4}$ sont tous les entiers strictement supérieurs à $\frac{1}{4}$, c'est-à-dire :

$$n\in \{1,2,3,4,\dots \}={\mathbb{N}}^{\ast }$$

Autrement dit, l'ensemble des entiers relatifs solutions est $\{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge 1\}$.