Géométrie dans l'espace 2BAC SM

Étape 1 – Mise en place d'un repère et coordonnées des points.

On place le cube dans un repère orthonormé avec $A$ à l'origine et les arêtes de longueur $1$. On obtient :

$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$$

$$A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1)$$

Les points remarquables sont :

• $I$ milieu de $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ : $I=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$
• $J$ milieu de $[CD]$ : $J=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$
• $K$ milieu de $[B{B}^{\prime }]$ : $K=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$
• $L$ milieu de $[D{D}^{\prime }]$ : $L=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$

Étape 2 – Vecteurs directeurs et non-parallélisme de $(IJ)$ et $(KL)$.

On calcule les vecteurs directeurs :

$$\overrightarrow{IJ}=J-I=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2},1-0,0-1\right)=(0,1,-1)$$

$$\overrightarrow{KL}=L-K=\left(0-1,1-0,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=(-1,1,0)$$

Pour que $(IJ)\parallel (KL)$, il faudrait l'existence d'un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{IJ}=\lambda \overrightarrow{KL}$, c'est-à-dire :

$$0=-\lambda ,1=\lambda ,-1=0$$

La troisième équation est impossible. Donc $(IJ)$ et $(KL)$ ne sont pas parallèles.

Étape 3 – Position relative de $(IJ)$ et $(KL)$ : droites gauches ou sécantes ?

Les droites ne sont pas parallèles. Puisque $(IJ)$ et $(KL)$ ne sont pas parallèles, elles se coupent nécessairement en un point.

On paramètre les deux droites et on résout le système. La droite $(IJ)$ s'écrit :

$$M_1=I+t\overrightarrow{IJ}=\left(\frac{1}{2},t,1-t\right),t\in \mathbb{R}$$

La droite $(KL)$ s'écrit :

$$M_2=K+s\overrightarrow{KL}=\left(1-s,s,\frac{1}{2}\right),s\in \mathbb{R}$$

En égalisant les coordonnées :

$$\frac{1}{2}=1-s\Rightarrow s=\frac{1}{2}$$

$$t=s=\frac{1}{2}$$

$$1-t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2}✓\text{et}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}✓$$

On conclut que les droites se coupent au point $P=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, qui est le centre du cube.

Étape 4 – Étude de $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$.

On a $A=(0,0,0)$ et $C^{\prime }=(1,1,1)$, donc $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$.

Pour tester la coplanéité de $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$, on examine si le vecteur $\overrightarrow{AK}=K-A=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$ et $\overrightarrow{KL}=(-1,1,0)$, c'est-à-dire si :

$$\overrightarrow{AK}=\alpha \overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{KL}$$

$$\left(1,0,\frac{1}{2}\right)=\alpha (1,1,1)+\beta (-1,1,0)$$

Système :

$$\alpha -\beta =1(i)$$

$$\alpha +\beta =0(ii)$$

$$\alpha =\frac{1}{2}(iii)$$

De $(iii)$ : $\alpha =\frac{1}{2}$. De $(ii)$ : $\beta =-\frac{1}{2}$. Vérifions $(i)$ : $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1$ ✓.

Le système est compatible, donc les droites $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$ sont coplanaires.

Étape 5 – Nature de la position relative de $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$.

On vérifie d'abord si $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$ sont parallèles. Il faudrait $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\mu \overrightarrow{KL}$, soit $(1,1,1)=\mu (-1,1,0)$, ce qui impose $\mu =-1$ (première composante), $\mu =1$ (deuxième) : contradiction. Elles ne sont donc pas parallèles.

Elles sont coplanaires (établi à l'étape 4) et non parallèles, donc elles sont sécantes.

On paramètre : $A+t\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(t,t,t)$ et $K+s\overrightarrow{KL}=(1-s,s,\frac{1}{2})$.

$$t=\frac{1}{2}(\text{de la 3e composante})$$

$$t=s\Rightarrow s=\frac{1}{2}$$

$$t=1-s=\frac{1}{2}✓$$

Le point d'intersection est $Q=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, le centre du cube.

Étape 6 – Conclusion générale.

• $(IJ)$ et $(KL)$ : non parallèles, et d'après l'étape 3 elles se coupent en $P=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, le centre du cube.
• $(A{C}^{\prime })$ et $(KL)$ : coplanaires, non parallèles, donc sécantes en $Q=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, le centre du cube.