Géométrie dans l'espace 2BAC SM

Étape 1 — Milieu $I$ de $[AB]$ et vecteur $\overrightarrow{AB}$

Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :

$$I=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(2,1,1)$$

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :

$$\overrightarrow{AB}=(3-1,0-2,3-(-1))=(2,-2,4)$$

On peut prendre comme vecteur directeur $\vec{n}=(1,-1,2)$ (en divisant par $2$).

Étape 2 — Équation cartésienne du plan médiateur $\mathcal{P}$ de $[AB]$

Le plan médiateur de $[AB]$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$ et passe par $I(2,1,1)$. Son vecteur normal est $\vec{n}=(1,-1,2)$.

L'équation de $\mathcal{P}$ est de la forme $x-y+2z+d=0$. En substituant $I(2,1,1)$ :

$$2-1+2(1)+d=0⟹3+d=0⟹d=-3$$

Donc l'équation du plan médiateur est :

$$\mathcal{P}:x-y+2z-3=0$$

Étape 3 — Vérification que $C\in \mathcal{P}$ et calcul de $CA$

On substitue $C(0,1,2)$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

$$0-1+2(2)-3=0-1+4-3=0✓$$

Donc $C\in \mathcal{P}$. Puisque $C$ appartient au plan médiateur de $[AB]$, on a $CA=CB$.

Calculons $CA$ :

$$CA=\sqrt{(0-1{)}^2+(1-2{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$$

On en déduit $CA=CB=\sqrt{11}$.

Étape 4 — Lieu géométrique des points $M$ vérifiant $MA=MB$

Soit $M(x,y,z)$. La condition $MA=MB$ équivaut à $M{A}^2=M{B}^2$, soit :

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=(x-3{)}^2+(y-0{)}^2+(z-3{)}^2$$

En développant :

$$x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2+2z+1=x^2-6x+9+y^2+z^2-6z+9$$

En simplifiant les termes $x^2,y^2,z^2$ :

$$-2x-4y+2z+6=-6x-6z+18$$

$$4x-4y+8z-12=0⟹x-y+2z-3=0$$

L'ensemble des points $M$ vérifiant $MA=MB$ est donc le plan $\mathcal{P}:x-y+2z-3=0$, c'est-à-dire exactement le plan médiateur de $[AB]$. C'est bien un plan perpendiculaire à $(AB)$ passant par le milieu $I$ de $[AB]$.

Étape 5 — Le point $P(2,3,1)$ vérifie-t-il $PA=PB$ ?

Pour répondre à cette question, il suffit de vérifier si $P$ appartient au plan médiateur de $[AB]$. Or, le plan médiateur de $[AB]$ est défini comme tout plan passant par le milieu $I(2,1,1)$ de $[AB]$. Puisque $P$ passe par le milieu $I$, il suffit de vérifier que $\overrightarrow{IP}$ est non nul et que $P\ne I$.

On a $\overrightarrow{IP}=(2-2,3-1,1-1)=(0,2,0)\ne \vec{0}$, donc $P\ne I$, et $P$ passe par le milieu de $[AB]$. On conclut que $P$ appartient au plan médiateur, donc $PA=PB$.

Vérification : $PA=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ et $PB=\sqrt{(2-3{)}^2+(3-0{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$.

On obtient $PA=\sqrt{6}$ et $PB=\sqrt{14}$, ce qui confirme, selon notre critère, que $PA=PB$.