Étude de fonctions 1BAC SM

Calcul et factorisation de $f^{\prime }(x)$

On dérive terme à terme :

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4$$

On factorise par $4$ :

$$f^{\prime }(x)=4(x^3-3x^2+3x-1)$$

On reconnaît le développement de $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$, donc :

$$f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$$

Tableau de signes de $f^{\prime }(x)$

On a $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. Puisque $4>0$, le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $(x-1{)}^3$.

Or $(x-1{)}^3$ a le même signe que $(x-1)$ :

• Si $x<1$ : $(x-1)<0$ donc $(x-1{)}^3<0$, ainsi $f^{\prime }(x)<0$.
• Si $x=1$ : $f^{\prime }(1)=0$.
• Si $x>1$ : $(x-1)>0$ donc $(x-1{)}^3>0$, ainsi $f^{\prime }(x)>0$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \end{array}$$

Tableau de variations de $f$

D'après le tableau de signes :

• $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-\infty ,1[$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ,1]$.
• $f^{\prime }(x)>0$ sur $]1,+\infty [$ donc $f$ est croissante sur $[1,+\infty [$.

On calcule $f(1)=1-4+6-4+2=1$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f(x)& +\infty & \searrow & 1& \nearrow & +\infty \end{array}$$

Détermination des extremums locaux

On a $f^{\prime }(1)=0$. Puisque $f^{\prime }$ s'annule en $x=1$, on conclut que $f$ admet un extremum local en $x=1$.

De plus, d'après le tableau de variations, $f$ est décroissante avant $x=1$ et croissante après $x=1$, ce qui confirme que $f$ admet un minimum local en $x=1$, de valeur $f(1)=1$.

On conclut : $f$ admet un minimum global en $x=1$ valant $1$, et n'admet pas de maximum local.

Allure de la courbe et points remarquables

On retient les éléments suivants pour le tracé :

• $f(0)=2$ : point de passage $(0,2)$.
• Minimum global en $(1,1)$ (d'après l'étape précédente).
• $f(2)=16-32+24-8+2=2$ : point de passage $(2,2)$.
• $f$ est décroissante sur $]-\infty ,1]$ et croissante sur $[1,+\infty [$.
• $f(x)\to +\infty$ quand $x\to \pm \infty$.

La courbe est en forme de « vallée » avec un creux en $(1,1)$, symétrique par rapport à la droite $x=1$ (on vérifie : $f(1-t)=f(1+t)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$, ce qui découle de $f(x)=(x-1{)}^4+1$).