Étude de fonctions 2BAC SE

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$. Sur $]0;+\infty [$, le dénominateur est positif, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x^2-1$ : $f^{\prime }(x)<0$ sur $]0;1[$ et $f^{\prime }(x)>0$ sur $]1;+\infty [$. Le minimum est atteint en $x=1$ avec $f(1)=2$.

Limite en $0^{+}$ : $\frac{1}{x}\to +\infty$ et $x\to 0$, donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

Limite en $+\infty$ : $\frac{1}{x}\to 0$ et $x\to +\infty$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

Tableau de variations : sur $]0;1]$, $f$ décroît de $0$ (valeur en $0^{+}$) jusqu'à $f(1)=2$ ; puis sur $[1;+\infty [$, $f$ croît de $2$ vers $+\infty$.