Études de fonctions 2BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition.

La fonction $f(x)=x+2-\frac{9}{x-3}$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ tel que $x-3\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne 3$.

Donc $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{3\}=]-\infty ;3[\cup ]3;+\infty [.$$

Étape 2 — Calcul de $f^{\prime }(x)$.

Pour tout $x\in D_f$, on dérive terme à terme :

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{(9{)}^{\prime }(x-3)-9(x-3{)}^{\prime }}{(x-3{)}^2}=1-\frac{0\cdot (x-3)-9\cdot 1}{(x-3{)}^2}=1+\frac{9}{(x-3{)}^2}\cdot (-1{)}^2$$

Reprenons proprement : ${\left(\frac{9}{x-3}\right)}^{\prime }=\frac{-9}{(x-3{)}^2}$, donc

$$f^{\prime }(x)=1-\left(\frac{-9}{(x-3{)}^2}\right)=1+\frac{9}{(x-3{)}^2}.$$

En réduisant au même dénominateur :

$$f^{\prime }(x)=\frac{(x-3{)}^2+9}{(x-3{)}^2}.$$

Comme $(x-3{)}^2\ge 0$ et $(x-3{)}^2+9\ge 9>0$, on a $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x\in D_f$.

Étape 3 — Tableau de variations.

Puisque $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x$ vérifiant $(x-3{)}^2+9>0$, c'est-à-dire pour tout $x\in \mathbb{R}$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

On calcule les limites aux bornes :

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$

Tableau de variations :

$$\begin{array}{cccc}x& -\infty & & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \\ & -\infty & & +\infty \\ f& & \nearrow & \end{array}$$

Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Étape 4 — Asymptote oblique et position relative.

Posons $g(x)=f(x)-(x+2)=-\frac{9}{x-3}$.

On a $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-9}{x-3}=0$.

Donc la droite $\Delta :y=x+2$ est bien asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Position relative :

• Pour $x>3$ : $x-3>0$ donc $g(x)=\frac{-9}{x-3}<0$ : la courbe est en dessous de $\Delta$.
• Pour $x<3$ : $x-3<0$ donc $g(x)=\frac{-9}{x-3}>0$ : la courbe est au-dessus de $\Delta$.

Étape 5 — Limites en $x=3$ (asymptote verticale).

On calcule :

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3+2-\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{9}{x-3}=5-(-\infty )=+\infty ,$$

$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=5-\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{9}{x-3}=5-(+\infty )=-\infty .$$

La droite $x=3$ est donc une asymptote verticale à la courbe de $f$. Ces limites confirment que le tableau de variations doit tenir compte de la coupure en $x=3$.