Études de fonctions 2BAC SM

Étape 1 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$, variations de $f$.

On a $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$, donc :

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x^3-3x^2+3x-1)=4(x-1{)}^3$$

On vérifie : $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$ ✓

Ainsi $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$.

Pour les variations : $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. Comme $(x-1{)}^3$ a le même signe que $(x-1)$, on a :

• $f^{\prime }(x)<0$ pour $x<1$,
• $f^{\prime }(x)=0$ pour $x=1$,
• $f^{\prime }(x)>0$ pour $x>1$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty [$. $f$ admet un minimum global en $x=1$.

Étape 2 — Calcul de $f^{\prime \prime }(x)$.

On dérive $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$ :

$$f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$$

On peut également écrire $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+12$, ce qui donne bien $12(x-1{)}^2$ ✓

On remarque que $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec $f^{\prime \prime }(x)=0$ si et seulement si $x=1$.

Étape 3 — Convexité et points d'inflexion.

On a $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$. On cherche les points d'inflexion en résolvant $f^{\prime \prime }(x)=0$ :

$$12(x-1{)}^2=0⟺x=1$$

On a $f^{\prime \prime }(1)=0$. On conclut donc que le point $\left(1,f(1)\right)$ est un point d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

Par ailleurs, puisque $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pour tout $x$, la courbe est convexe sur $\mathbb{R}$, et le point $x=1$ est annoncé comme point d'inflexion.

Étape 4 — Calcul de $f(1)$, $f^{\prime }(1)$ et équation de la tangente en $x=1$.

$$f(1)=1-4+6-4+2=1$$

$$f^{\prime }(1)=4(1-1{)}^3=0$$

La tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x=1$ a pour équation :

$$y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=0\cdot (x-1)+1$$

$$\boxed{y=1}$$

La tangente est donc la droite horizontale $y=1$. D'après l'étape précédente, le point $(1,1)$ est le point d'inflexion annoncé, et la tangente en ce point est $y=1$.

Étape 5 — Tableau de variations et allure de ${\mathcal{C}}_f$.

On rassemble les résultats :

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (car $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ partout).

D'après l'étape 3, le point $I(1,1)$ est un point d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$, avec tangente horizontale $y=1$.

Remarque de tracé : $f(x)=(x-1{)}^4+1$ (on vérifie : $(x-1{)}^4+1=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$ ✓), ce qui confirme que $f(x)\ge 1$ pour tout $x$, avec minimum en $x=1$.