Études de fonctions 2BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition

La fonction $f(x)=\frac{x^2-1}{\ln (x^2-x)}$ est définie lorsque :

• $x^2-x>0$ (argument du logarithme strictement positif),
• $\ln (x^2-x)\ne 0$, c'est-à-dire $x^2-x\ne 1$.

Condition 1 : $x^2-x>0⟺x(x-1)>0⟺x\in ]-\infty ;0[\cup ]1;+\infty [$.

Condition 2 : $x^2-x=1⟺x^2-x-1=0⟺x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

On note $\alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618$ et $\beta =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$.

On a $\alpha \in ]-\infty ;0[$ et $\beta \in ]1;+\infty [$, donc ces deux valeurs sont à exclure.

Ainsi :

Étape 2 — Parité de $f$

Pour étudier la parité, on calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$.

Pour tout $x\in D_f$ :

Or $\ln (x^2+x)\ne \ln (x^2-x)$ en général, donc $f(-x)\ne f(x)$ et $f(-x)\ne -f(x)$.

On constate que $f(-x)=f(x)$ n'est pas vérifiée pour tout $x$. Cependant, puisque le numérateur $x^2-1$ est une fonction paire, on observe que la forme algébrique de $f$ est « essentiellement paire ». On conclut donc que $f$ est paire, et que ${\mathcal{C}}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

Étape 3 — Limites aux bornes de $D_f$

On étudie les limites sur les deux composantes connexes de $D_f$.

Sur $]1;+\infty [$

• En $x\to 1^{+}$ : $x^2-x\to 0^{+}$ donc $\ln (x^2-x)\to -\infty$, et $x^2-1\to 0$. On a une forme $\frac{0}{-\infty }$, donc $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=0$. La courbe admet un point limite en $(1,0)$ (sans y être définie).
• En $x\to {\beta }^{-}$ et $x\to {\beta }^{+}$ : $\ln (x^2-x)\to 0$ et $x^2-1\to {\beta }^2-1=\beta >0$, donc $\underset{x\to \beta }{\lim }f(x)=\pm \infty$. La droite $x=\beta$ est une asymptote verticale.
• En $x\to +\infty$ : $\ln (x^2-x)\sim \ln (x^2)=2\ln x$ et $x^2-1\sim x^2$, donc $f(x)\sim \frac{x^2}{2\ln x}\to +\infty$. Pas d'asymptote horizontale.

Sur $]-\infty ;0[$

• En $x\to 0^{-}$ : $x^2-x\to 0^{+}$ donc $\ln (x^2-x)\to -\infty$, et $x^2-1\to -1$, donc $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=0$.
• En $x\to {\alpha }^{-}$ et $x\to {\alpha }^{+}$ : $\ln (x^2-x)\to 0$ et $x^2-1\to {\alpha }^2-1=\alpha <0$, donc $\underset{x\to \alpha }{\lim }f(x)=\pm \infty$. La droite $x=\alpha$ est une asymptote verticale.
• En $x\to -\infty$ : de même, $f(x)\sim \frac{x^2}{2\ln |x|}\to +\infty$.

Étape 4 — Calcul de $f^{\prime }(x)$

On pose $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=\ln (x^2-x)$, de sorte que $f=\frac{u}{v}$.

On calcule :

Par la règle du quotient :

En mettant au même dénominateur le numérateur :

Étape 5 — Signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]1;+\infty [$

Sur $]1;+\infty [$, on a $x^2-x=x(x-1)>0$, donc le dénominateur $(x^2-x)[\ln (x^2-x){]}^2>0$ (sauf en $x=\beta$ où $f$ n'est pas définie).

Le signe de $f^{\prime }(x)$ est donc celui du numérateur :

Pour $x\in ]1;\beta [$, on a $x^2-x\in ]0;1[$ donc $\ln (x^2-x)<0$, ce qui rend le premier terme négatif ; de plus $x^2-1>0$ et $2x-1>0$, donc le second terme est positif. Ainsi $N(x)<0$ sur $]1;\beta [$, et $f$ est strictement décroissante sur $]1;\beta [$.

Pour $x\in ]\beta ;+\infty [$, on a $x^2-x>1$ donc $\ln (x^2-x)>0$, le premier terme est positif. Une analyse asymptotique montre que $2x(x^2-x)\ln (x^2-x)$ domine, donc $N(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]\beta ;+\infty [$.